UE

En effet, la dérivation des deux membres de cette équation donne :

m— 1 sin” æ m—1 .

SNL — -——— sin" 2%. cos & + — + "sin". ?# = HSE +

qui est une identité. On trouve de même :

Eee : cos"Tix. sin m— 1 | l cos" t. dt = =" + cos"? x “dE:

m m Intégrons entre des limites qui annulent les premiers termes des seconds membres, par exemple, Üetr:2; il vient : à T m— | 2 L. —— sin"x. di = ————— an "7; dx, m 0 0 En D mm — 1 Lies “à cos" x. dx = ——— cos" ?x, dæ.

te RP FE . m—Î relations qui s’écrivent : Le: ee Fe

Supposons m pair et opérons de proche en proche; nous trouvons : 4.3.5... (m—1) x LES T

{m—32)m 3 ; en particulier EL —--.

Supposons mn impair, (m—1 excepté, pour lequel I, = 1): nous

trouvons : Le 38 7. rte

301. Fonction définie par une intégrale définie au moyen d’un paramètre variable sous le signe [

1°. — Nous avons maintes fois rencontré des faisceaux de courbes : Es (ET ei,

Pour chaque courbe du faisceau, le paramètre u est constant; l’ordonnée y est fonction de x. On passe d'une courbe à l’autre en changeant la valeur du paramètre. Par exemple, des cercles de même centre et de rayons différents forment un faisceau : la grandeur du rayon est le paramètre variable.

Avec l’axe Or et deux ordonnées /ires AA', BB', chaque courbe du faisceau délimite une certaine aire S, qui est fonction du paramètre u, puisqu'on la modifie en changeant la courbe et conséquemment le paramètre (fig. 193).

On a : nes k. f(æ, u)dxæ = o(u). (4) %. __ Cherchons la dérivée de Su) par rapport à u; c'est

le taux de variation dS:du, quand u subit un accroissement infiniment petit à partir de sa valeur actuelle.

Si l'intégration (1) est possible avec les fonctions que nous connaissons, elle fournit une certaine fonction o{(u) qu'il suffit de dériver pour obtenir le quotient demandé. B'

Mais cette intégra- | tion est généralement impossible ; 1l s’agit de trouver une expression a qui ne la suppose pas.

J. — Reportonsnous à la figure 193. ne

Quand on remplace la courbe 1 (paramètre u) par la courbe voisine 2 (paramètre Ô “E X'arda Fe u + du), l'aire ADCB Fig. 493.

augmente de la bande DEFC. Celle-ci se décompose en une série de parallélogrammes tels que MNPQ (les courbes sont infiniment voisines) de base dx et de hauteur MN.

Or MNest ce dont croît l'ordonnée fr, u) quand u croît de du, æ restant invariable. On a done :

n aie MNPQ — -— sq f(x, u). du dr.

L'aire de la bande DEFC est la somme de ces aires quand x varie de a à b. D'où :

dS .

dé - ja/te u). dx.

#. —— Inversement supposons que sous le signe | se rencontre la

dérivée d’une fonction par rapport au paramètre u qu’elle contient.

b Ô On à : y(u) — L og /(#> u) du ;

par suite : É y(a) du — | f(æ,u)— f(x, us) lé.