Second exemple

Prenons comme faisceau de courbes celui du $*203. Posons :

to) f à Ô

L’'aire est une fonction de la courbe choisie, définie par l'exposant u (bien entendu, supposé => 1). Ici encore l'intégration est possible ; on a simplement :

Ur (2)

Prenons u et S comme coordonnées : l'équation (2) définit une hyperbole équilatère dont les asymptotes sont l'axe des abscisses et l’ordonnée u —1.

304.;:Troisième exemple. 1°. — Soit à calculer les intégrales indéfinies :

De fe" cos br . dæ, S = fe sin bx dr.

L'intégration par parties ($ 158) donne :

e= cos br bS e® sin'bx bC

É es Ti TN + LP , S —

a Résolvons ces équations par rapport à Cet à S, il vient :

a cos bx -L b sin bx

PE r+ e“ ! Constante (4) a À pe . , (1) . .8sinbæ—bcosbz x ir cab e* — Constante. (2) 2. — Remplaçons à par — a; calculons les valeurs des intégrales

définies :

2 © GC, = | e-* cos bæx. dx, en | e— * sin bx . dx. 0 v 0 Pour la limite supérieure, les expressions (1) et (2) s'annulent ; pour la limite inférieure, l'exponentielle devient l'unité. On trouve en définitive :

a < Gti Sp 6)

3. — Considérons CG, et S, comme fonctions de a. Nous pouvons

donc multiplier les quantités qui sont sous les signes F , par da et

intégrer entre deux limites, a et c, par exemple. C'est effectuer l'opération étudiée au $ 301, 4, IL vient :

ep" a? b°?

DEEE se ——— . cos br de =; D le(s) (4)

é a c ——— —— , sin br dr = arctg — arctg +. (5) On vérifiera ces identités, en considérant c comme une constante

et en dérivant sous le signe Î par rapport à a. De même, on déri-

vera les seconds membres par rapport à a.

#. — Posons dans les équations précédentes c—0, a—. L'intégrale (4) est évidemment infinie. L'intégrale (5) devient :

À sin br - LR dr=arctg oc — arctg0—+.. (6)

0 , On doit prendre le signe + si b>>0, le signe — si b<O0. Cherchons à nous représenter le sens de ce résultat utilisé au & 270.

Fig. 195.

Remarquons d’abord que le résultat est indépendant de b. Si nous

dx =, posons : UE U: —

sin br smu — dx =

Nous avons étudié au $ 62 la fonction sinx : x. Construisons les fonctions sin bx :æ pour deux valeurs de b, bet f. La figure 195 représente en traits pleins les sinusoïdes, en pointillé les courbes obtenues en divisant les ordonnées par les abscisses correspondantes.

il vient :

NE A PE en > # Æ F, « sr". L LAC, re CU ah"? PASS et fe ls HR TR Ve FSU EU | 4