PROCÉDÉS DU CALCUL DIFFÉRENTIEL

linéairement pour s’annuler quand le point C vient dans l'aplomb

de B, ou quand le point D vient dans l’aplomb de A.

Ensuite de quoi elles restent évidemment nulles.

Ainsi, pour représenter un phénomène extrémement simple, nous devons avoir recours à une fonction continue, mais dont la courbe représentative a trois points anguleux, ce qui revient à dire que sa dérivée présente trois discontinuités. A partir des points F, G ou H , les rapports des accroissements de la variable et de la fonction ne sont pas les mêmes quand on se déplace vers la gauche ou vers la droite.

On rencontre même ce résultat paradoxal qu’au point G la fonction est maxima sans que la dérivée s'annule. À vrai dire, elle s’annule si l’on veut, puisque sa valeur est indéterminée (voir le 1°).

#. — La fonction peut être continue, ainsi que sa dérivée première, tandis que la dérivée seconde présente des discontinuités.

Cela revient à dire (S 91) que la courbe représentative change brusquement de courbure. Par exemple, la fonction qui serait représentée par l'ensemble des cercles AB de centre C et BD de centre C'est continue, ainsi que sa dérivée première : la dérivée seconde est discontinue en B.

C'est là un phénomène très fréquent en Mécanique. Chaque fois qu’un corps en heurte un autre,

Fig. 15.

la vitesse ne subit aucune variation discontinue (K 2); mais l'accélé-

ration ($ 17) est brusquement modifiée.

On peut dire que les fonctions qui sont continues, ainsi que toutes leurs dérivées, sont très rares dans les applications. Cela ne nous empêchera pas d'en étudier de telles, plus exactement de n'étudier guère que celles-là. Nous en serons quittes pour représenter les fonctions discontinues à l’aide d'un certain nombre de fonctions conti-

nues se raccordant convenablement.