Angle de deux plans

Il est égal à l’angle de leurs normales. On a donc :

: , aa + bb +cc cos 4 — gx + BE + yy — rs ù

La condition de perpendicularité est :

aa + bp + cc —=0.

La condition de parallélisme est :

a aœe, BR, v=vi

a es

821. Plan passant par un point donné; distance d’un point à un plan.

1°. — Soit : ax + by +cz—d, | (4) le plan, et 2%, yo, %, les coordonnées du point donné. Nous voulons que le plan passe par le point; la condition est :

axo + bys + cz —=d. : (2) Retranchons (2) de (1) :

Naturellement, a, b, c restent arbitraires.

Des trois paramètres qui définissent un plan, un seul est déterminé; les deux autres (ha, ca, par exemple) permettent d'imposer deux relations supplémentaires.

2%, __ Cherchons la distance du point À (x5, Yo, %), à un plan P :

ax + by + cz—d. (4) Par le point À, menons un plan P’ parallèle à P ($ 320) : a( — To) + D(y — yo) + c(z— 2%) = 0. (5) La distance des plans P et P' est la distance du point A au plan P, C'est aussi la différence des distances : OP'—OP, des plans à l'origine. On a :

ne d ME To + DYo + CZ Va ONE:

D D'où: 4 a ete tend.

Va? + b® + c°

Si l'équation du plan a la forme (4) du K 319, la distance den chée est : 2—ar + fy +: — A.

3. — On peut dire (comme pour la droite tracée dans un plan, $ 29, 3°) que le plan divise l’espace en deux régions pour lesquelles 3 a des signes contraires. Le plan sert de surface de séparation; 1l est défini par la condition 3—0. À

322. Plan tangent à une surface au point X, Y, Z; normale à la surface en ce point.

1°. — Une surface est définie par une relation f(x, y, :) —=0, entre les coordonnées de ses points. Soit X, Y, Z, les coordonnées d’un point A; æ—X—+dX, y—Y—+dY, :—7Z+dZ, les coordonnées d’un point B voisin et appartenant à la surface. On a donc : FX, Y, 2)=0, f(X+dX, Y +dY,Z+d2Z)—0, (4) et par suite : | Par définition, (2) est la différentielle df de la fonction f(x, y, 2) pour les valeurs X, Y, Z, de la variable. D'où :

df(X, Y,Z DRE io CHR PR AS PAR av + )

Telle est la relation à si entre les FAR infiniment petits dX, dY, dZ, des coordonnées, pour que le point x,7, 3, voisin de À ne cesse pas d’appartenir à la surface.

®%, — Remplaçons dX, dY, dZ, par æ—X, y—Y, :—L. L'équation (3) devient :

ù ù ù Dex) +5 EYE =. (9

C’est l'équation d’un plan, puisque les dérivées partielles ont les valeurs relatives au point À de coordonnées invariables X, Y, Z, et sont par suile des constantes; x, y, 3, sont les coordonnées courantes.

Si l’on suppose le point +, 7,3, assez voisin de A, l'équation (4) se confond avec l'équation (3). Donc (4) représente un plan qui passe par tous les points de la surface voisins de A; c’est le plan tangent à la surface au point A.

3°. — La normale au plan (4) menée par le point de tangence À est par définition la normale à la surface au point A.

Ses cosinus directeurs sont ($ 319, 3°) :

dZ—0 (3)

she cours DE MATHÉMA TIQUES GÉNÉRALES NH .

323. Énatious de la droite. Expression des cosinus directeurs.

1°. — Une droite AB est définie quand on se donne deux de ses points M et N. Soit %,, yo, 203 1, Yi, 1, leurs coordonnées. Cherchons les coordonnées x, 7, z, d'un point P quelconque de la droite. Un théorème connu nous apprend que les projections orthogonales de MP et de MN sur une droite quelconque sont dans le rapport MP : MN. D'où les relations : MEL god Velos et (1) MN Ti—% Yi Yo BH — 20.

Les deux équations (1) sont les équations de la droite. Nous les prendrons généralement sous la forme : x — y — z—r PLV TEEN (2)