Invariants

1°. — Nous avons montré, au K 317, que par rapport à deux systèmes d'axes de même origine, tous deux rectangulaires, les coordonnées #, y, z, X, Y, Z, d'un même point sont liées par les relations linéaires (5) ou les relations équivalentes (6).

Soit une fonction entière f(x, y, 3, a, b, c,...), contenant (outre les variables x, y, z) des paramètres a, b, c, ... qui sont les coefficients des différents termes du polynôme. Substittons à T,Y,3, leurs valeurs (6) en fonction de X, Y, Z. Nous obtenons un nouveau polynôme F(X, Y,Z, A,B, C. ..), évidemment du même degré que f, contenant de nouveaux coefficients A,B,C,

Il peut arriver qu'une fonction o(a, b, c,...) des coefficients a, b, c, .. conserve la même valeur, lorsqu'on substitue à a, b,c, les coefficients A, B, C, ...; ou encore prenne une nouvelle valeur égale à l’ancienne multiphiée par un facteur indépendant des coefficients a, b, c, .. et fonction seulement des coefficients de la substitution linéaire (6). On dit que la fonction :

MAD LG ..)—uolah:077 est un invariant; w est seulement fonction des coefficients de la substitution.

Les substitutions linéaires (5) et (6) du $ 317 ne sont pas générales, puisqu'il existe entre les coefficients les relations (1) et (3). Mais la définition que nous venons de donner ne suppose pas l’existence de ces relations : les substitutions linéaires peuvent être quelconques; quelconque aussi le nombre des variables.

2. — Pour préciser ces notions, revenons sur une question déjà traitée ($ 105). Soit la fonction homogène :

fe, y, m,n, p}= ma + ny + 2pry.

PTT Pre

SURFACES DU SECOND DEGRÉ On l'appelle forme quadratique binaire, pour exprimer que le degré est 2 (quadratique) et qu'il y a deux variables (binaire). Faisons la substitution :

x—aX +aY, y—=8X+EY.

Nous obtenons une nouvelle forme quadratique : MX:+NY?+2PXY: M = mo + n6° + 2paf, N=mx?+nf*—+2p;6", — max —- n98 + plaÿ + we).

On vérifiera la relation :

(MN — P?)— (28 — 6) (mn —p?);

mn—p* est un invariant.

Le facteur 4%'— 2% s'appelle module de la transformation.

En particulier, s’il s’agit du passage d’un système d’axes rectangulaires à un autre système d'axes rectangulaires, on a (K$ 78 et 317) :

æ—Ccos 0, B—sint, a—-sin6, P'—cos6;:

a — 2x8 — cos 0 + sin? 6—1, MN — P?— mn— p?.

Le module de la transformation est l'unité ; l’invartant est absolu.