Covariants
La propriété d'invariance se généralise.
Il peut arriver que la fonction o contienne les variables et les coefficients; elle prend alors le nom de covariant :
MAY, LA D, Gi) =uo(s y, 2, "a, b, ce, .:).
Le mot covariant signifie que les deux membres de l’équation précédente varient simultanément, de manière à rester identiques, quand les variables varient.
Si la forme o est binaire ou ternaire, égalée à zéro ou à une constante, elle représente une courbe ou une surface. Une substitution linéaire quelconque exprime un changement de coordonnées (passage d'un système d’axes généralement obliques à un autre système d’axes également obliques). Le covariant est l’expression d’une propriété indépendante du choix des axes.
Exemple : par rapport à deux systèmes d’axes de même origine et
rectangulaires :
dy +zi—X LY Lt FA
est un covariant. Chacun des termes de l’équation exprime la distance d’un point à l’origine, distance évidemment indépendante du système d’axes.
Autre exemple. La distance d’un point à une droite est évidemment indépendante du système d’axes. Soit x, y, d'une part, X, Y,
a Ton | COURS DE MA THÉMATIQUES S GÉNÉRALES
de l’autre les coordonnées d’un point pour deux un d' axes rectangulaires de même origine. Soit :
ax + by —d, AX+BY—D, les équations correspondantes des droites. On a identiquement (K 29) : Ce Pas __AX+BY—D Va VAS EE
C'est un covariant.
332. Invariants de la forme quadratique ternaire. 1°. — Soit la forme quadratique ternaire F :
a? + by? + cz + 2fyz + 29zx + 2hry. (4) Supposons qu'il soit possible de la ramener par une certaine substitution linéaire à la forme ® :
AX?+ BY? + CZ?. (2) Sur la forme (2), effectuons la transformation (5) du $ 317 que nous appellerons rofation pour abréger ; elle devient :
Aa + 6y + y3) + Bale + 8'y al Cale + g'y + d'ap. (1
Identifions avec (1) :
a = Ac? + Be? + Ce? [= ABy + B6'y + Ce”, b— Af? + BG? + CS", g = Aya + By + Ce", c—A$ +B; +Cy*; h— Aaë + Bry£' + Ca'B".
En vertu des relations (1) et (4) du $ 317, on trouve aisément : L—a+tb+tc—A+B+C, —(bc+ca-Lab)—(ffLg+h)—=BC+CA+AB, (3) 1, — abc + 2fqh— (af + bg + ch) — ABC.
2°. — Inversement, si les équations (3) résolues par rapport à A, B,C, donnent des racines réelles, il sera possible, par la substitution linéaire (6) du $ 317, de ramener F à la forme ®.
Nous démontrerons plus loin qu'il en est ainsi (K 333).
3°. — Pour l'instant résolvons le problème posé. Je dis que les premiers membres des équations (3) sont des invariants de la forme quadratique F pour les rotations (5) ou (6) du $ 317.
En effet, une rotation R appliquée à F donne une forme F' dont les coefficients sont à’, D’, c', ... Mais F' pourrait, tout comme F, se déduire de la forme ® par une rotation £:’ convenable des axes. On trouverait les mêmes coefficients à’, b', c', ... Les relations (3) seront donc encore valables, en remplaçant à, b, c, .…. par a’, b', ce”,
Donc les premiers membres de ces équations sont des invariants.
Notre raisonnement repose au fond sur cette proposition (voir Mécanique), qu’on peut toujours remplacer deux rotations par une
