S—IS HIS — I

La somme des racines est égale au coefficient de S? changé de signe ; la somme des produits des racines prises deux à deux est égale au coefficient de S; le produit des racines est égal au terme connu changé de signe.

L'équation (1) peut s’écrire :

h h Posons : a —a— 7, y=r—"t, da.

L'équation prend la forme suivante, ce qu'on vérifie en chassant les dénominateurs :

1 1 1 l Pa) | 7625) TAG ju 0 À)

®%. — Montrons que (2) a ses racines réelles. Elles sont inégales quand les quantités à’, b', c', ne sont pas égales entre elles. En effet, lorsqu’en variant dd —x à +, $S traverse l’une des

valeurs a’, b', c', (supposées rangées dans l’ordre, des grandeurs croissantes), P passe brusquement d’une valeur négative à une valeur positive très grande. Donc quand S varie de a'<+e:àù b'—2:, P passe d'une valeur positive très grande à une valeur négative très grande. Comme P varie continûment, il s’annule dans l'intervalle. L'équation (2) a donc une racine entre a’ et }.

De même il en existe une entre b' et c'.

Suivant le signe du produit fgh, la troisième est supérieure à c'(fgh=>0), ou inférieure à a'(fqh<0). En effet, P se réduit à —1:/gh quand S prend des valeurs très grandes positives ou négatives.

3. — Nous supposons que les quantités a', b',c', sont différentes. Si deux d'entre elles sont égales, a'— D par exemple, les racines de l'équation (2) sont encore réelles et inégales. Il résulte à la limite du raisonnement précédent, et l’on vérifie immédiatement, en chassant les dénominateurs de l'équation (2), qu'une des racines vaut a — D.

#, — Si a'—h—c, il existe une racine double égale à cette

102 | COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES quantité. La troisième est évidemment donnée par la condition (obtenue en chassant les dénominateurs) :

BUS —a)= pe + +R 5°. — Si l’une des quantités /, g, h, est nulle, la forme (2) cesse

‘être commode pour la discussion. On reprendra donc l’équation en a, bc, ::50K4 f—0, 1l reste :

P'—(S—a)(S— D)(S—c)—[g{S — Bb) + AS —c)]—0.

Supposons a h<c. On substituera à S les valeurs —, b,c,+c. Elles donnent pour P’les signes —,—+,—,—+.

Il existe donc trois racines réelles inégales. 6°. — Supposons f—qg—0: l'une des racines est égale à c. Les deux autres sont données par l'équation du second degré :

dont les racines sont réelles et nécessairement inégales.

L'équation du troisième degré peut cependant avoir une racine double si :

1°. — Enfin soit f—g—h—0; les racines sont a, b, c. Conczusion. — Toute forme quadratique ternaire peut être consi- -dérée comme la somme algébrique de trois carrés réels.

334. Généralisation pour des formes quadratiques d’un nombre quelconque de variables.

1°. — Reprenons la forme quadratique binaire :

Ma + ny" + 2pLY, (1) et appliquons-lui la substitution (K 330) :

x—aX+aY, y = EX + £R'Y.

Nous pouvons ramener (1) à la forme : | MX°+ NY?°, d'une infinité de manières, puisqu'il suffit de poser :

P = max + nf + pag H x'8) —0.

Nous avons une condition à satisfaire et quatre constantes arbitraires «a, B, x, S.

Géométriquement, ramener l’équation d'une conique à centre à la forme : MX?+NY—Q, (2) c'est prendre pour axes obliques deux diamètres conjugués. En effet, pour toute valeur de YŸ, nous avons deux valeurs égales et de signes contraires de X, et inversement. Les cordes parallèles à OX sont donc coupées en parties égales par OY, et inversement. Or il existe

une infinité de couples de diamètres conjugués; donc on peut ramener l'équation de la conique d’une infinité de manières à la forme (2).

SURFACES DU SECOND DEGRÉ Pour ramener la forme MX? NY?, à la forme :

il suffit de changer les échelles sur les axes, ce qui revient à poser :

9%. — Nous venons de voir ($S 333) que la forme quadratique ternaire peut se ramener d’une manière unique à la forme : AX? + BY?+ CZ.

Cela tient à ce que nous avons imposé la condition que le système des axes resterait trirectangle. Mais, cette condition écartée, on peut par des substitutions linéaires ramener d’une infinité de manières la forme quadratique ternaire à la forme précédente ef même à la forme

canonique : x" Lt.

La proposition est vraie quel que soit le nombre de variables.

3. — Toutefois on démontre, et c’est une proposition fondamentale en Mécanique (voir notre Mécanique ; Dynamique, chapitre VITT), que si la réduction à une somme de carrés peut s'effectuer d’une infinité de manières, le nombre des carrés positifs et des carrés négatifs est néanmoins déterminé.

L'interprétation géométrique est immédiate pour les formes binaires.

L'équation : XL Y?—C"* représente une ellipse, quels que soient les axes et les échelles sur les axes. De même l'équation : X°— Y°—C" représente une hyperbole.

IL est clair que la forme générale :

ma° + ny° + 2pzy —=C",

ne peut être ramenée qu'à l'une ou l’autre des formes canoniques, une substitution linéaire ne pouvant envoyer à l'infini des points à distance finie, ni rapprocher à distance finie des points à l'infini.

Classification des quadriques.