Quadriques centrées
En vertu du $ 332, nous pouvons remplacer par une somme de carrés la forme quadratique ternaire à laquelle les termes variables se réduisent; d’où l’équation :
Ar? + By° + Cr —1.
1°. — Erxpsoïnes. — Les quantités A, B, C, sont positives; l'équation prend la forme :
x? 2 z? atpte—l
Soit a >> b>>c. La surface est limitée dans tous les sens. En particulier, æ est toujours inférieur à a, y à b, zàc. Soit +, G, y, les cosinus directeurs d’un rayon vecteur passant
par l'origine. On a :
2 02 9 1 : 1 ca . Le .
++ — ) BNP Va 6: CEA
a 1 1 1 1 1 1 Fe eos meer
Les parenthèses sont toutes positives. Donc 9 est nécessairement inférieur à a qui est un maximum, supérieur à € qui est un minimum.,
paraissant, si le point x, y, z, appartient à la surface, le point
Re ne
|. he Po A, B, C, est négative; Dia prend la forme :
. MARINE 2. ce AR E Et (11) L'’axe des z ne rencontre pas la surface (fig. 213 à gauche). On à : fn De Ch a
Pour que le rayon vecteur issu de l’origine rencontre la surface,
il faut que le second membre soit positif. Donc la surface :
x? 2 2 EPe 5. ADR Mure où : +50, sert de cloison entre les rayons vecteurs issus de l'origine qui rencontrent la surface et ceux qui ne la rencontrent pas.
C’est un cône asymptotique, dont l'origine est le sommet : sur ce cône même, les rayons vecteurs sont infinis.
Les plans parallèles à æ0y coupent la surface suivant des ellipses toujours réelles. Les plans parallèles à Oz, yOz, coupent la surface suivant des hyperboles dont les asymptotes sont parallèles à des génératrices du cône asymptotique.
La surface est de révolution autour de Oz si l'on a a—b.
Son équation est alors :
a+ y? = p?, Pa — 1.
NE NAPPE. — Une he trois quantités
{cours De DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRA
dd. — HypgrsoLoïnes À DEUX Nappes. — Deux ds “TS dés A, B, C, sont négatives; l'équation prend la forme : x? y? 22 FT D. cc = 1. (I)
Ni l'axe des z, ni l'axe des y ne rencontrent la surface.
Un cône asymptotique sert de cloison entre les vecteurs issus de l'origine qui rencontrent la surface et les vecteurs qui ne la rencontrent pas. La figure 213 à droite ne représente qu'une des nappes.
Les plans parallèles à y0z, et dont la distance à l’origine est supérieure à a, coupent la surface suivant des ellipses réelles; elles sont imaginaires dans le cas contraire. Les plans parallèles à y0x et 30x coupent suivant des hyperboles dont les asymptotes sont parallèles à des génératrices du cône asymptotique.
La surface est de révolution autour de Ox quand on a hb—c. Son équation prend la forme alors :
2 DL — 22 = AN — + se, PA AE Ne à 1.
Ù ù 1° y? 4e g es ; #. — L'équation : TE . —- æ — 0, convient à l’origine; si
l’on veut, elle représente un ellipsoide évanouissant.
j HR a 1 L L'équation : + += [, ne convient à aucun point réel.
D°. — Cônes. — Les équations :
Re GA à PEAR our ÊR a eà a | }? DRE T N a? b? pe (IV)
représentent des cônes; nous les avons utilisés plus haut sous le nom de cônes asymptotiques.
Coupons les surfaces (IV) par un plan passant par l’origine :
x = my + nz. (4) Éliminons x entre (1) et l'une des équations (IV); nous obtenons
une équation homogène du second degré en y et z RDV ORA par rapport à 7:32; nous obtenons deux racines k, et k
Yy—= ha, y—hk. ; (2)
Chacune des équations (2) associée à (1) définit une droite. Donc l'intersection de (IV) par un plan passant par le sommet (centre de symétrie, origine des coordonnées), se compose de deux droites; elles sont réelles ou imaginaires suivant le choix du plan (1).
L'intersection par des plans parallèles aux plans de coordonnées traite les cônes comme les hyperboloïdes dont ils sont asympto-
nf
ECOND DEG
tosé
| tiques : à la différence avec les hyperboloïdes à deux nappes, que les.
ellipses du second cône (IV) sont toujours réelles. Nous reviendrons sur les cônes aux K 420 et suivants.
337. Quadriques non centrées. ; 1°. — Reprenons l’équation quadratique générale et, sans chercher à supprimer les termes du premier degré, ramenons les termes du
second à la forme : Az? + By? + Cz.
Comme par hypothèse 1,—0, l'équation (1) du $ 333 a une-
racine nulle. La forme précédente se simplifie; elle se réduit par exemple à : Az? + By.
Le changement des axes de coordonnées laisse du premier degré les termes qui l’étaient. Nous ramenons donc l'équation générale à la forme : Az? By? 2x + 2my + 2nz + d —=0.
Les nouveaux /, m, n, nesont pas identiques aux anciens. Déplaçons maintenant l’origine dans le plan æ0y; grâce aux deux arbitraires dont nous disposons, nous pouvons faire disparaître les termes en x et y.
En définitive, l’équation prend la forme :
x? 2 ET + ns + d —0. (1)
9. — Cyrinpres. — Soit n—0. L'équation représente une ellipse ou une hyperbole dans le plan x0y; elle représente aussi bien un cylindre elliptique ou hyperbolique z de génératrices parallèles à l’axe Oz qui est l’axe du cylindre.
Le cylindre possède comme centres El de symétrie tous les points de Oz, ce qui est géométriquement évident. mn On vérifiera que les équations donnant le centre deviennent indéter-
minées. ” Nous étudierons les cylindres aux AT SK 418 et suivants. 7 7 3°. — PARABOLOÏDE ELLIPTIQUE. — D “ Soit n=0, 0 pour préciser; 0
posons-le égal à — 1, ce qui ne diminue pas la généralité de la solution. Un glissement de l'origine n le long de Oz fait disparaître le terme constant.
Prenons positif le double signe de l'équation (1); il vient : æ* y? + 2 Se — 23. (X )
