Par un point extérieur B de coordonnées x, y, z, menons

RS

Fig. 218.

des plans tangents à la surface (fig. 218). Les coordonnées des points À de ra Y, Z, doivent satisfaire aux équations :

Ls

de

— 1—0, du plan tangent,

| 5 dy à Z? Hit Es ++ —1—0, de l'ellipsoide.

Mais l’équation T—0, en y regardant X, Y, Z, comme des coordonnées courantes, est celle d’un plan. Donc les points de contact des plans tangents qui passent par le point B, sont sur un plan P qu'on appelle plan polaire du point B; celui-ci prend le nom de pôle. Le plan polaire a la même équation que le plan tangent.

Tous les plans tangents qui passent par le pôle B ont pour enveloppe ($ 397) un cône C qu’on appelle cône tangent ou cône circonscrit.

SURFACES DU SECOND DEGRÉ 115

#.— Rien, due l'équation T—0, ne suppose que le point B est extérieur à l'ellipsoïde. On définit done même le plan polaire d’un point par lequel on ne peut mener aucun plan tangent réel.

Si le plan polaire P, de B, passe par B,, réciproquement le plan polaire P, de B, passe par B, (fig. 219).

En effet, la condition est la même dans les deux cas :

Tia

y 7132 MP Sr fs DE + = =!

Considérons un point E de l'intersection des plans P, et P,. Puisqu'il appartient à la fois aux deux plans, son plan polaire passe par les pôles de ces plans. Donc il passe par la droite B,B..

Déplaçons le point E sur l'intersection des plans P, et P, : son plan polaire tourne autour de la droite B,B, qu'il contient toujours. Fig. 19.

La droite EF s’'appelle droite polaire de la droite B;,B, par rapport à l’ellipsoide considéré.

Réciproquement B,B, est la droite polaire de EF; cela signifie que les plans polaires de tous les points de B,B, passent par EF: ce qu'on vérifiera aisément.

Les propriétés précédentes permettent donc de conjuguer :

1° un point à un plan, une suite de points à une suite de plans ; 2° inversement, un plan à un point, une suite de plans à une suite de points ; 3° une droite à une droite, une suite de droites à une suite de droites. On conçoit que tout théorème démontré pour une suite de points entraînera un théorème démontré ipso facto pour une suite de plans, et réciproquement. C'est à ce doublement remarquable du nombre des théorèmes qu’on donne le nom de principe de dualité.

Fo

2°. — Pour fixer les idées, prenons comme quadrique une sphère de rayon R. Soit x, y, 3, les coordonnées d'un point B. L'équation du plan polaire est :

Xæ+ Yy+Zz—R!, dont la distance à l'origine D est (K 319, 3°):

Le plan Le du cils B est etnale à oB: le su 0 de sa distance au centre de la sphère par la distance du pôle au même point est constante. On vérifiera aisément que deux droites polaires l’une de l’autre sont normales l’une sur l’autre.

Quadriques homofocales.