FR=EEP. FP, —F'P; — FP

st RS Le Æ

= 2, — ConNSTRUCTION DES DEUX SYSTÈMES DE POINTS.

Soit À et À’, B et B',quatre points deux à deux correspondants ; menons par un point P deux circonférences passant respectivement par ces points. Elles se coupent en Q. Joignons P et Q ; la droite PQ détermine sur D le point F qui est le foyer de l’involution. En effet, d’après les propriétés des sécantes et tangentes au cercle ($ 327), on a:

FA FA —FB. FE FT. | Donc D, et D, sont les points doubles. Ils sont imaginaires

si Pet Q sont de part et d’autre de la droite D. 3°. — Klevons une perpendiculaire à la droite D au point F. Joi-

Fig. 224.

gnons un de ses points à deux points conjugués quelconques de l'involution. Les droites ainsi obtenues font avec elles des angles « et satisfaisant à l'équation :

tga . tgo' — Constante. (4) Nous savons (K 120) qu'ainsi sont reliées entre elles les pentes des diamètres conjugués de l’hyperbole et, au signe de la constante près, ceux de l'ellipse. | Grâce à l’involution, nous pouvons discuter aisément la manière

dont tournent, l’une par rapport à l’autre, deux droites dont les pentes sont liées par la condition (1). °

353. Remarque sur l’homographie et l’involution. 1°. — Il résulte de la construction du $ 350 que, pour déterminer “une correspondance homographique, il faut connaître les homologues sur D’ de trois points donnés sur D. On en amène un groupe en coïncidence ; les deux autres groupes déterminent deux droites qui par leur intersection donnent le point C. D'où ensuite un nombre quelconque de groupes de points homologues.

Pour fixer la correspondance homographique, il revient au même de choisir un foyer sur chaque droite et d'imposer la constante ff".

Les nice doubles sont accessoires ; ils existent par ce qu'on superpose les droites ; leurs positions et leur réalité même tiennent aux positions relatives des foyers lors de la superposition.

Une correspondance homographique établie entre deux droites D et D' possède donc à volonté des points doubles réels ou imaginaires ; en particulier, elle peut devenir une involution. Établissons, par le procédé du $ 350, une correspondance homographique à à: partir de trois points pris sur D et de leurs homologues donnés sur D’; superposons les droites D et D' en ayant soin de faire coïncider les foyers ; nous avons une involution.

2. — Nous savons (K 351) qu'une correspondance homographique à points doubles imaginaires sur deux droites D et D’ superposées, peut être établie par la rotation d’un angle constant tournant autour de son sommet. Le procédé s'applique donc à {oute correspondance homographique, puisque, pour rétablir la réalité des points doubles, 1l suffit de faire glisser les droites l’une par rapport à l’autre, au besoin d'en faire tourner une de 180° autour de son foyer.

Lorsqu'on fait coincider les foyers, l'angle constant devient droit : ce qui est évident d’après la figure 223. Le procédé s'applique à toute correspondance homographique. Au besoin, pour rendre les points doubles imaginaires, on fera tourner l’une des droites de 180° autour du foyer commun.

3. — Nous avons vu que toute correspondance homographique peut se mettre sous la forme :

EE

y + y' sde à (1) les origines étant deux points conjugués quelconques ; / et f’ sont les distances de ces points aux foyers correspondants.

On peut toujours ramener cette pré à la forme :

m1 + mu ; il suffit de prendre des sens pe convenables et de choisir pour origines les points conjugués qui sont à la même distance / des foyers. Il en existe évidemment toujours deux réels, en vertu de la rela-

tion : ££ — constante,

Suivant le signe de la constante, ils sont du même côté des foyers ou de côtés opposés ; mais cela n’a pas d'importance. Sous ce rapport, aucune simplification ne s’introduit dans le cas de l’involution :

l'égalité des constantes de la forme (1) ne se produit que pour un choix convenable des points correspondants origines.

354. Rapport anharmonique, rapport harmonique. On présente souvent les notions précédentes sous une forme qu'il est utile de connaitre.

cours DE MATHÉMATIQUES Gk

—. | Rarrorrs ANHARMONIQUES.

On appelle rapport anharmonique de oe points A B CI D. le