AC . BC

AD © BD | (1) On appelle rapport anharmoique de quatre droites concourantes a,B,y,è, le rapport :

rapport (fig. 225) : =

sin(æy) . Sin By) 1 sin{a) ° S ai (6è (2)

Il est facile de voir que ces rapports sont égaux si les droites a, By, passent par les points A,B,C,D, quel que soit le point de concoursS.

En effet, les triangles de sommet S qui ont même hau-

ne C B RER teur p, ont des aires

ml PAPERS mn

proportionnelles à

T 8 leurs bases.

Fig. 295. On a de plus ($ 68) :

deux fois l'aire du triangle SAC — ac sin(x,), et amsi de suite. Substituons dans (1) les aires aux bases correspondantes; il vient :

AC pbs ac sin (ay) , bcsin(fy) sin(æy) . sin(By) AD ‘BD adsin{a) bdsIm(f8è) sin(ai) : sin(fà)

Il résulte de cette équation que le rapport anharmonique déterminé par quatre droites x, $, y, à, sur une transversale ACBD, est constant et indépendant de la transversale choisie.

2%. — Quand deux systèmes de points sont conjugués homographiquement, le rapport anharmonique de quatre points du premier système est égal au rapport anharmonique des conjugués dans le second.

Pour démontrer commodément cette proposition, on prendra les foyers pour origines ($ 347).

3°. — Réciproquement, soit trois points fixes sur une droite D, et trois points conjugués sur une droite D’. Conjuguons deux points mobiles P et P’ de mamière que les rapports anharmoniques des quatre points (trois fixes, un mobile) pris sur chaque droite soient égaux entre eux pour toutes les positions de P et P' (ce qui ne signifie pas qu'ils restent invariables) : les points P et P' sont conjugués homographiquement.