Homographie dans le plan

1°. — On dit que les points de deux plans P et P' se correspondent homographiquement quand les coordonnées x, y, du point À de P, sont reliées aux cordonnées x’, y', du point conjugué A’ de P" par les formules :

, 4e + by + di à 80 + boy + ds (1) RUE De d ? MT ec Eby | d A la différence près qu’elles renferment deux variables, elles sont de la forme de l'équation (1) du $ 346. Résolues par rapport à x et à y, elles sont encore de la même forme : les seconds membres sont respectivement les quotients de deux fonctions linéares, le dénomi-

nateur étant le même pour les deux quotients.

2. — A une droite de P correspond une droue de P, . inverse-

ment. Soit en effet :

Az + By + C—0,

une droite de P'. Substituons à x’ et à y' leurs valeurs (1). Grâce à l'identité des dénominateurs, on obtient une fonction linéaire en æet y.

3°. — A toutes les droites qui passent par le point À de P, correspondent dans P” des droites qui passent par le point A' conjugué de A. D'où résulte qu’à des droites parallèles de P (droites se coupant en un point à l'infini dans P) correspondent dans P' des droites passant par un point qui n'est généralement pas à l'infini, comme nous le verrons.

4. — A une conique dans P correspond une conique dans P', e inversement. ë ; REMARQUE. — Les axes de coordonnées dans P et P' ne sont pas

nécessairement rectangulaires. Obliques, rien ne suppose qu'ils font le même angle.

357. Propriétés de la correspondance homographique. 1°. — Prenons pour axes de coordonnées dans P', les droites con- Juguées des axes de coordonnées dans P ; les origines O et O' sont évidemment conjuguées. Les équations se simplifient ; il faut en effet qu'à la droite x—0, corresponde identiquement la droite z'—0; de même qu'a la droite y—0, corresponde identiquement la droite y'—0.

Les équations prennent la forme :

a ax Fe By ap by Ld° # ax—+ by +d°

Résolvons par rapport à æ et à y :

aie dé nes day’ LT — af + aby — aÿ , Yy—=— apt + aby — of es RAR LE a Posons : PS, P ee : 1l vient : P À p.