Définition analytique des surfaces

Nous supposerons les points rapportés à des axes de coordonnées rectangulaires (fig. 239).

fe. — L’équation d’une surface peut être mise sous la forme :

2= fe, y) (1)

Elle signifie qu’en tout point B du plan x0y, nous élevons une perpendiculaire ; nous prenons dessus une longueur

BB’ égale à 3; nous déter- 0 LS

minons ainsiun point B:

l’ensemble de ces points est une surface. . à RE -, | >

Si pour chaque point B, À k L

: ; es !

l'équation (1) fournit Fe fem nm de plusieurs valeurs de 3, 9 RU À nous portons ces valeurs 4 PE BB’, BB'’,.. sur la nor- cé FA CPR ATSIRS male élevée en B au plan = 1 7 FA A pe: A ORDRE /

Nous pouvons systématiser la manière de prendre les points du plan æ0Oy.

Donnons à y la valeur constante OA—Yy,, et faisons varier +. A la droite ABC du plan x0y correspondent une ou plusieurs courbes :

3 = f(æ, Yo).

Recommençons pour d’autres valeurs de y suffisamment rapprochées. Nous découpons le plan æOy en bandes par des droites parallèles à Ox; corrélativement nous déterminons la surface par un faisceau de courbes qui se trouvent respectivement dans des plans

Fig. 239.

orales à 204 : elles sont + nterde bone de la ton par ces plans.

Opérons de la même manière au moyen de oies parallèles à Oy, d'équations =.

Nous traçons maintenant le faisceau des courbes :

3— f (to, ÿ); qui sont les intersections de la surface par des plans ds à yOz. | Nous sommes tout naturellement conduits à considérer les pentes et les courbures de ces courbes. Nous utiliserons donc ess les dérivées partielles de 3 par rapport à æ et à y. Pour simplifier l'écriture, nous poserons :

__ ds ue FA De ? GE dy ?

EUR Mt O 4 d?z Gr : re xd y ? TOY 2. — Généralisons ce qui précède. Soit le système : æ — q{u, v), y — y(u, v), 3 —(u, v),

où u et v sont deux paramètres auxiliaires variables. Donnons à v la valeur v, et faisons varier u. Les équations :

æ —Q(u, vo), y = Y(u, Vo); ne À représentent une courbe dans le plan æ0y. Chaque point de cette courbe est caractérisé par une certaine valeur du paramètre u, d'où résultent pour 3 une ou plusieurs valeurs :

Nous traçons donc l'intersection de la surface avec le cylindre dont les génératrices, parallèles à Oz, s'appuient sur la courbe (2). Recommençons pour diverses valeurs de v : nous déterminons sur x0y un faisceau de courbes, et nous considérons la surface comme engendrée par les courbes dont les précédentes sont les projections orthogonales sur +0y.

Nous aurions pu choisir v comme la variable et u comme le paramètre définissant chaque courbe d’un nouveau faisceau :

æ — o(uo, v), Y = Y(Uo, V). (3)

Le plan x0y est alors quadrillé par les faisceaux (2) et (3); la surface est déterminée par les courbes correspondantes.

373. Exemple ; sphère. | 1°. — L'équation d’une sphère de rayon r dont le centre est à l'origine des coordonnées, est ($ 316) :

Lt bz—R?, 2 + VR?— x? — y?

2 VE — pe) — 2, de rayon VR?—y. Ce premier faisceau de courbes détermine la ‘sphère au moyen des cercles qui sont ses intersections par les plans parallèles à Oz.

Posons æ—7+,; à toute droite du plan x0y parallèle à Oy, correspond le cerele : |

nent À: 4 5 ER

de rayon YR?—x. D'où détermination de la sphère au moyen des cercles qui sont ses intersections par les plans parallèles à yOz.

2%. — Prenons pour paramètres auxiliaires la longitude u et la latitude v ($ 315).

Nous avons :

T—=TrCOSUCOSU, y—=rcosvsinu, == rsinv:

Laissons u constant ; faisons v variable ; nous déterminons sur le plan æ0y des droites Fig. 240.

passant par l'origine ; sur la sphère, nous traçons des méridiennes. Laissons v constant, faisons u variable : nous déterminons sur le plan x0y des cercles ayant l’origine pour centre ; sur la sphère, nous traçons des parallèles.

1° — Cherchons l'expression de la longueur ds d’un arc de courbe tracée sur la surface. Les coordonnées de deux points voisins sont :

D, Y, 3, æ+dx, y+dy, z:+dz. Leur distance est done ($ 316) ds? = dx? + dy? + dz:. (1) On a (S 9) : | |

ds 0z

dd — (1 + p°)dr? EL 2pqdædy + (1 + g°)dy = Edr? + 2Fdxdy + Gdy?.

®. — Cherchons l'oipreasion ee la longueur ds dans le cas où la surface est donnée par les paramètres u et v. On a :

LENS dx Ÿ ù rm D eo

nie Se Epne Substituons dans (1) et posons :

dx dy \° Ôz \?

Bu) +66) +):

dr dr | dy dy dz Ôz Da Do T 07 dv | da 00?

os) (0) + (2)

D'où: : ds? — Edu® + 2Fdudv + Gdv?.

3. — Dans la première manière de repérer la surface, on pose : PU Jen.

D'où : |

LE MES: L'AERS dy de. ds

De de On 0 Un ve P:

dæ y cou dz dz

NÉE Do du 08 og

E—1p,, F=pg, . G—1+97, conformément aux résultats du 1°.