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pe. Fe L'élément de surface est un parallélogramme dont les côtés d,s et ds font l’angle w. Son aire ds a pour expression ($ 68) : dS —d,s.d;s, sin o — D ,du do —VEG — EF? , du dv. Dans le cas où l’on prend pour variables u, v, les coordonnées ®, 7, 0n a: dS=YA+p+qg®, dx dy.
#. — Si D est constant pour toute la surface, les courbes dont les paramètres sont :
Us, UE, Up 2e, ….; Vos Vo, Vo 2e, ….
la découpent en parallélogrammes infiniment petits d’aire constante.
377. Angle d’une courbe tracée sur la surface avec l’une des courbes u—Constante, v— Constante.
1°. — Généralisons le problème du paragraphe précédent. Suivant AC(du—0), on a (voir plus haut) :
de= du, dy=% du, dis = du, Suivant AB, on a :
dx dx Ô d?
de du+ dv, dy dut dv, 0z 0z di=;, du+ sd
du? “ie dudv E du + EF dv dis dss dis ds VE VE du? + 2F du do Gdw :
dv: du—p, mesure la pente de la ligne AB par rapport aux lignes
du faisceau u, v, considérées comme axes de coordonnées obliques dans le plan tangent :
cos 0 — NA EL A à VE VE + 2Fp + Gp?
XD, — Il n'est pas plus difficile de trouver l'angle x de deux
courbes dont les pentes sont p et p'. On a :
PR P) EGpp VE+-2Fp+-Gp°VE+-2Fp + Gp"
On retombe sur la forme précédente en faisant p'—0.
COS a —
Cours de Mathématiques générales. — H. BOUASSE. 29
Na
Surfaces de révolution.
378. Surfaces de révolution : équation générale. | 1°. — Cherchons l'équation générale d'une surface de révolution admettant pour axe de révolution la droite AB (fig. 242) :
æ— plz, y = —+ mz. (4)
Du point À de coordonnées p, q, comme centre, traçons des
sphères :
(œ—p} + (y —g} +=. (2) Coupons-les par des plans normaux à la droite (1) :
Lx + my z—3. (3)
Les intersections des sphères (2) par les plans (3) sont des cercles normaux à AB et dont les centres sont sur AB. Tout parallèle d’une surface de révolution admettant AB comme axe peut être obtenue par un choix convenable de 3 et de r, ou de la distance du plan (3) à l’origine (à un facteur constant près), et du rayon de la sphère qui a le point À pour centre. La surface enüière sera donc tracée par des parallèles, si nous donnons la relation : r—o(à);
(œ — p} + (y —q} += 0 (le + my +32).
Telle est l’équation en termes finis de toutes les surfaces de révo-
lution qui admettent AB pour axe; la fonction © est arbitraire. D, — Si l’axe est Oz, il faut poser :
. Fig. 242.
pad met, L'équation devient : 2°+y—9(z) — 7°, ou encore, puisque © est arbitraire :
ape y") = Ye!)
° est la distance d'un point de la surface à l’axe de révolution.
de tite PILES 7 1
SURFACES. COURBES TRACÉES SUR LES SURFACES 451 ##;— On peut mettre l'équation précédente sous la forme : æ— p(v) cos u, y = p(v) sin u, 32 7(v), ce qui revient à employer les coordonnées cylindriques ($ 315). On trouve aisément :
; do ! dz en posant : PT dar 7 ds® = £? du? + (0° + 7?) dv, dS = gÿe®+z?.dudv. (1) 4. — Il est souvent commode de prendre pour variable v l'arc de
méridien compté à partir d’une origine arbitraire. On a : dr? = dz° + de?, pr G= À, o=# D; d'où : ds? — £? du? + dv?, dS = ; du dv. (2) La condition KF—0, signifie que les deux systèmes de courbes (méridiens, parallèles) découpent la surface en petits rectangles. C'est ce qu'indique d’une autre manière la formule dS — bp du dv. ÿ°. — Le plan tangent a pour équation ($ 375, 2°) : z cosu(æ—X)—+zsinu(y—Y)—5{(z—7)—0.
Les cosinus directeurs de la normale | sont : ”
Hé rOQ8u, DA ainu, Y—-0.
