Aire des surfaces de révolution; théorèmede Guldin

1°. — Le calcul de l’aire d'une surface de révolution se ramène

immédiatement à une intégrale simple, quand la surface est limitée par deux parallèles; u varie toujours de 0 à 27; on a (K 378, 2°):

S= ffas= ff du dv = fau [+ dv — 2x fe dv.

L'interprétation de cette formule est évidente (fig. 244). La surface

est décomposée en trones de cône

; élémentaires, de rayon moyen

ox AB—;, dont l'élément de géné-

de dy ratrice est CD—dv, dont par suite la surface latérale est :

2Tp dv.

2%. — THÉORÈME DE GULDIN. — Par assimilation à nos définitions du $ 163 relatives à une aire, nous 0 æ appelons moment statique d'une

situé dans son plan, l'intégrale:

Y u= fpdv.

Fig. 244. ee | L'axe neutre parallèle à Oz est

une droite située à une distance 9, de Oz telle que :

a fdo= fe do.

D'où résulte que l’aire de la surface engendrée par une courbe plane (située tout entière d'un côté de l'axe, pour éviter les difficultés de signes) est égale au produit de la longueur de la courbe par la circonférence que décrit un point quelconque de l'axe neutre.

3. — Si la courbe est symétrique par rapport à une droite parallèle à l’axe de révolution (par exemple, fig. 245), cette droite est son axe neutre. En effet, à tout élément dv situé à une distance : de cette droite correspond un élément de même longueur, situé de l'autre côté de la droite à la même distance. Par rapport à cette droite, le moment statique :

L e dv,

est nul, puisqu'il se compose d'éléments égaux et de signes contraires.

courbe plane par rapport à un axe Oz

SD Ve

trouverions S—0, La surface

soit 4#rR?; mais elle doit être

Va LA

SURFACES. COURBES TRACÉES SUR LES SURFACES 153 381. Applications.