SPHÉRIQUE

Appliquons la formule générale à la calotte sphérique de méridienne MN (fig. 244). Soit R le rayon du cercle.

On a : arc MN — RO, dv — Rd, e—=Rsin; S—2rR? / "sin 0 , d6— 2x RU — cos b).

C’est la formule du $ 75.

Pour une zone comprise entre les angles 0, et 0,, on a :

S — 2+R°%{1 — cos 6,) — 2rR%4{1 — cos 64) — 2rR*(cos 0, — cos 6,); S— 2rR(R cos 6, —R cos 6,) —2rRh; h est la hauteur de la zone.

3°. — ELLIPSOIDE DE RÉVOLUTION.

La méridienne est : ba? L az? — a°b?, az? + b'x?

. me ds, fn 8 RÉ ee LR ES. # ONS Tr px, do di di=ds x re SNA

Sas [VE andere a

Deux cas à considérer.

Si l’ellipsoïde est de révolution autour de son grand axe, 1 faut poser :

De, UD — a — he. Par différentiation on vérifiera

la formule :

à — mm cistnts .

b° b° 763 = | —— 29 + — arcsm- |:

LÉ ae ITS es

C'est l’aire comprise entre le plan équateur 3—0 et un plan parallèle quelconque. | out sh 0h:

S — ra? -

rab .

arc sine.

C'est l'aire de la moitié de l’ellipsoide. On retrouve bien 2ra° pour a—h (c'est-à-dire pour la sphère), parce que le quotient aresine :e, tend vers l’unité quand e s’annule.

Si l'ellipsoïde est de révolution autour de son petit are, 1 faut poser :

ee ÉD

On vérifiera la formule

ra°e D D: | Do Ph?

nn É | LA VA ue-Snr"g z° Lo 3 Frosnn g® | — log : De de seu ee AR L 40 A , ac

Pour z3—h, on a la moitié de l’aire de l’elhipsoïde :

de.

TD a (À \ S = ra? .. T log % ne ) ‘

8382. Volume des surfaces de révolution ; théorème

de Guldin.

1°. — Le calcul du volume d’une surface de révolution se ramène immédiatement à une intégrale simple, quand il est linuté par des parallèles. En effet, le solide compris entre deux parallèles distants

de dz est assimilable à un cylindre de base r£° et de hauteur 43. Son volume est : Te’Us.

Le volume total est par suite :

2dz

pm Ps

| LR 4 © \

9, — THÉORÈME DE GULDIN.

Le moment statique par rapport à Oz de l'aire plane qui engendre le volume par rotation autour de la droite Oz de son plan,

est (S 163) : TD op dz—p; o dz.

e est la distance de l’axe neutre ; fred est l'aire enclose par

la courbe. D'où le théorème : Le volume engendré par une aire plane tournant autour d’une droite Oz de son plan (qu’elle ne rencontre pas, pour éviter des difficultés de signes), est égal au produit de l’aire par la circonférence décrite par un point quelconque de laxe neutre parallèle à l'axe de révolution:

SA

3°. — Si la courbe est symétrique par rapport à une droite parallèle à Oz, cette droite est son axe neutre.