Position du problème
1°. — On établit une correspondance point par point entre une surface et un plan, en posant sur la surface :
æ—o(u, v), y = y(u, v), 3 —(u, v), et sur le plan : E— d{u,v), in du À 2 Qt) À
Chaque système de valeurs u,v, définit un point À de la surface et un point A’ du plan, supposé repéré au moyen des axes (rectangulaires pour simplifier) Q£, Qy. Les fonctions ® et W sont arbitraires : le problème est donc pour le moment complètement indéterminé. On le détermine en imposant certaines conditions à satisfaire.
2. — Nous avons expliqué comment les variables u,v, déterminent sur la surface deux faisceaux de courbes qui la décomposent en une sorte de quadrillage (K 372, 2°). Il en est de même du plan. Parmi tous les modes de correspondance possibles, cherchons ceux qui font correspondre à un parallélogramme élémentaire de la surface un parallélogramme de même aire sur le plan.
Sans qu'il soit nécessaire de reprendre nos caleuls, nous concluons du $ 376, 3°, où nous faisons 3—0, que l’aire d’un parallélogramme élémentaire sur le plan a pour expression :
cn [db dw ow op ù dE . du do = — De ) du de.
Il y aura donc égalité pour les aires élémentaires, si les fonctions. ® et Ÿ sont choisies de telle sorte qu'on ait identiquement :
ob do ow d® 7 EME -< du do où dœ + P—EVEG—E.
di =dS, 384. Application aux surfaces de révolution. Cartes de Géographie.
Reprenons les notations du $ 378, 4° ; choisissons comme variable v l'arc de méridien ; u est la longitude. On a :
db 0 dW D du dv du dv
FA ee MÉTHODE DE LamBerT. Posons :
ps dY :
il vient : “do = + o(v), nie : o(v)dv.
-Appliquons à la sphère. Pour que v soit l'arc de méridien compté à partir de l'équateur, il faut écrire (K 373) :
Là) (2) RC à ne COS ES y = Tr cos — pa sin u, D'aeat SLT) r”
v v v CALE Q D'où : DER OD0ES — 1=E cos — dv — r? sin — .
Si donc nous voulons représenter une sphère sur un plan de
7ole Nore 60° 30° hs | Fyudteur 60° 180° ET: ES 0° 30° 180° Fôle Sux Fig. 246.
manière que les aires soient conservées, nous pouvons prendre pour coordonnées cartésiennes rectangulaires :
> . (2) Cu, GEST sin, ;
u est la longitude évaluée en radians, r est le rayon de la sphère,
v:r est la latitude.
L' hémisphère sera représenté dans un | rectangle de base 2x (variation totale de la longitude), de hauteur 7? (la variation du sinus quand v : r varie de Ô à rx :2, est 1), par suite de surface 2rr°.
Les méridiens sont flgurés par des droites parallèles à Qy ; leur distance est proportionnelle à la variation de la longitude.
Les parallèles sont figurés par des droites parallèles à Q£; si les parallèles représentés correspondent à des variations égales de la latitude, les droites tracées sur la carte se rapprochent à mesure qu'on s'éloigne de l’équateur.
La figure 246 représente le canevas yénéral; les droites tracées correspondent à des variations de 30°.
Il est à peine besoin de faire observer que ce système de cartes géographiques déforme complètement les régions voisines du pôle :
elle les allonge à la longueur de l'équateur en les amincissant dans le
sens normal, de manière que les aires soient conservées. 2%, — Mérnone DE FLamsTeeD. — Posons : 1n—W{u,v)—v;
il vient : — p(v), £— D{u,v) — up(v) + constante.
Appliquons à la sphère ; on trouve (en prenant la constante nulle) :
é U " S—= ru COS — = ru cos —-, A—= UV.
Les parallèles de la sphère sont figurés par des droites dont la
Fole Nora
Fo/e Sua Fig. 247.
distance est proportionnelle à la variation de la latitude : les méridiens sont transformés en des cosinusoïdes dont l'amplitude est proportionnelle à la longitude. Seul le méridien origine (4 — 0) est transformé en une droite. La figure 247 représente le canevas général.
3°. — Plus généralement, si nous voulons que les parallèles soient figurés par des droites parallèles, nous devons poser :
d®P 0 ne F0}; a = PQ be Du EE) + Bite)
Nous ajoutons une fonction arbitraire de v qui disparaîtra quand nous prendrons la dérivée partielle par rapport à u. Dans le cas de la sphère, on trouve :
n = Y(v), ET D cos — + ,(v).
#4. — Mérnope DE BABINET.
Imposons aux méridiens la forme d’ellipses. Déterminons les cons-
tantes de manière (fig. 248) qu'un ‘hémisphère soit représenté dans un cercle de rayon VŸ2r e d’aire —27 r°, que le grand axe des ellipses dirigé suivant la ligne des pôles soit constant, enfin que le petit axe soit proportionnel à la longitude du méridien considéré.
re 7% cos P; (1)
Il faut écrire: © —vy2rsino, ë
Füle Nord
| \ e 60° 30 Ægudteur [°° F
nos 90° Pôle Sud Fig. 248.
où © est une fonction de l'arc v qu'il s'agit de déterminer. Identifions avec les relations ci-dessus établies ; il vient :
Lite y” (v) cos ng = COS o .
y (v) — V2 rsino;
On tire aisément de là, en différentiant la première équation, transportant dans la seconde et intégrant :
20 +-sin 2 9 —r sin +, | (2)
relation qui définit la variable auxiliaire © en fonction de la latitude v : r. Les parallèles sont donc représentés par des droites parallèles (puisque © n’est effectivement fonction que de v) dont les écartements sont fournis par l'équation (2). |
M NS. nc de
LAC PR 5e 0 FAR PUY LE .
LA ASE Ro TT DA ù
Voici les distances relatives des droites parallèles à l’équateur,
pour les latitudes croissant de 10 en 10° :
latitude 10 20 30 40 50 60 10 80 90 distance 137 272 404 531 651 762 862 945 1000
Courbes orthogonales sur une surface.
