Recherche des lignes isothermes

1°. — Si l'élément d’are se présente sous la forme : ds? — 2Fdudyv, (4) pour ramener à la forme déterminée au $ 385, 1°, 1l suffit de poser : QU—u HU, IV —— fu»). (2)

D'où immédiatement :

dU? +dV?=— dudv.

On tire de (2) : ; u—U—+iv, v—U—:iV, (3)

à = formules qui serviront au changement de variables dans F{u,v). | 2%. — D'une manière générale on peut écrire : E[Edu®? + 2Fdudv + Gdw?] — [Edu + (F + iD)dv|[Edu +(F — iD)dv|; (4) D? = EG — F?.

Si l’on trouve les facteurs intégrants des parenthèses du second membre de (4), on ramène la forme (3) à la forme (1) et par suite à la forme qui convient au faisceau des isothermes ($ 282). 2. — Appliquons la méthode à la sphère :

ds? — dv? + cos ?v. du? — (cos v . du H idv) (cos v . du — idv). Le facteur intégrant de l’une ou l’autre parenthèse est 1 : cosv.

D'où : ds? — cos ?v | du - ré | | du — ds + COS V COS v

Nous poserons donc :

dU = du + dV x ht dv

sv? COS D NE CU 0 U=u+ iogtg( 5 +2), Vu üogtg(F +5).

Appliquant les formules (2) à ces valeurs de U et de V ef changeant convenablement les notations, on trouve les variables déjà obtenues :

y Vopre l RER u Es, = (U—V)=ogtg( +5).

Représentation conforme des surfaces.

387. Conditions d’une représentation conforme. Nous supposons la surface définie par les variables u, v, que nous prenons pour coordonnées cartésiennes rectangulaires d’un plan. A chaque point dela surface correspond un point du plan. Nous demandons la condition pour que la représentation soit conforme, c'est-à-dire pour qu'aux figures infiniment petites tracées

Va U3 do Z, Uz U3 Uy

Fig. 249.

sur la surface correspondent sur le plan des figures infiniment petites semblables. Aux K$ 236 et suivants, nous avons étudié la même correspondance entre les points de deux plans.

4. — A partir d'un point À de la surface, traçons les arcs infiniment petits AB, AC,... dont les longueurs rentrent dans l'expression générale :

ds? = Edu? + 2Fdudv -+- Gdr?.

A partir du point À situé dans le plan et conjugué de A, traçons les ares A'B', A'C',... respectivement conjugués de AB, AC,... Leurs longueurs rentrent dans la formule :

ds"? — du? + dv?.

Pour que le rapport ds: ds” soit constant pour le point A Gil peut varier d’un point à l’autre de la surface), il faut évidemment que :

EG, Fes ds? == E(du? + dv?). (4) Si cette condition est réalisée, on a :