Lignes de plus grande pente

1°. — Les lignes de:plus grande pente coupent normalement les lignes de niveau, comme 1l résulte immédiatement de la construction des lignes d’égale pente. Les lignes de niveau étant horizontales, les projections horizontales des lignes de plus grande pente coupent à angle droit les projections (ên vraie grandeur) des lignes de niveau. Nous sommes donc ramenés à la recherche d’un fhiscsau de courbes orthogonales à un faisceau donné ($$ 238 et suivants).

2, — Soit : FROM):

l'équation de la surface. Les lignes de niveau satisfont à la condition : ds == 0, pd + qdy — 0.

" | COURS DE MA Ne rod UES S GÉNÉRALES

L'équation différentielle des projections horizontales des lignes de

plus grande pente est, par suite (K 77) :

qdæ — pdy —0.

3. — Si, par exemple, les lignes de niveau sont des coniques pa 11 homothétiques : + T — p(3), elles satisfont à la condition :

Le xdx ydy dz — 0, NT Er

ee lignes de pue grande pente sont définies par l'équation (fig. 255) :

& sde+ — dy —0, a log Flog = 0,

OÙ To, Yo, Sont . coordonnées d’un point où doit passer la higne à

\ bn SRE

! ll n '

Fig. 255.

considérer. Dans le cas des ellipses (signe supérieur), lorigine est un point d'arrêt toutes les lignes y aboutissent sous des angles différents et s'arrêtent brusquement. Dans le cas des hyperboles, les lignes de plus grande pente admettent les axes comme asymptotes : elles sont naturellement normales aux asymptotes communes à toutes les hyperboles, asymptotes qui font partie du faisceau d'hyperboles.

#. — Un mobile glissant sur la surface (supposée polie) part suivant une ligne de plus grande pente ; mais 1l la quitte dès que sa vitesse cesse d’être nulle, à moins que la ligne ne soit plane et verticale. Il ne suffit même pas qu'elle soit dans un plan vertical: dans ce cas, le mobile reste bien dans le plan dela ligne, mais non en contact permanent avec elle. Si, par exemple, à une pente faible succède brus-

quement une pente forte, il peut arriver, si la vitesse du mobile est assez grande, qu'il s échappe suivant une courbe moins inclinée.