Thalwegs ; lignes de faite ou arêtes

15 Lies lignes de plus grande pente satisfont simultanément aux deux équations (KS 372 et 394) dz= pdr + qdy, 0 — qgdx — pdy ;

la première exprime simplement qu'elles sont sur la surface. D'où : d—{(p" + q°) (dx? + dy?), tga—p?+q?; + est l’inclinaison avec Fhorizon de la ligne de plus grande pente.

Cherchons sur une ligne de niveau (d3—0) les points pour lesquels + est maximum ou minimum. Il faut écrire :

pdx + qdy —0, d(p+q?) =0.

La seconde relation donne (K 372)

pr dx + ps dy + qs dr + qtdy —

Eliminons dx et dy au moyen de la première, 1l reste :

pa(r—t)+s(g®— p°)=0. (1)

2. — L'équation (1) définit dans le plan x0y une ou plusieurs courbes qui sont les projections des lieux des points où les lignes de plus grande pente ont leur inclinaison maxima ou minima; ce lieu se compose dans l’espace d’une ou plusieurs courbes qu’on appelle thalwegs et lignes de faîte. est bien entendu que ce maximum (ou minimum) d'inclinaison est déterminé par comparaison avec les points voisins sur le même plan horizontal.

Que le lecteur se représente le contrefort d'une chaine de montagnes aboutissant sur une vallée principale. Se plaçant à l’origine de ce contrefort, qu'il descende en choisissant sa route de manière à dominer le mieux possible les deux versants (vallées secondaires). Z{ ne décrira pas une ligne de plus grande pente ; à chaque instant 1l changera de ligne de plus grande pente, généralement d’abord pour descendre le moins vite possible, généralement ensuite pour descendre le plus vite possible. Il suivra ce qu’on cs une arêle ou une ligne de faite.

Au contraire, qu'il descende en suivant le fond de la vallée secondaire (fhalweg, chemin de la vallée). /{ ne décrira pas davantage une ligne de plus grande pente; à chaque instant il changera de ligne de plus grande pente, généralement d’abord pour descendre le plus vite possible, généralement ensuite pour descendre le moins vite possible.

Géométriquement parlant, les lignes de faite et les thalwegs ont même définition; mais on ne peut évidemment pas les confondre.

Ces lignes coïncident parfois avee une ligne de plus grande pente : c’est ce qui arrive toujours quand la surface a un plan de symétrie. Aïnsi plaçons verticalement un des axes d'un ellipsoide (Oz, par

exemple) : les courbes qui sont dans les plans de symétrie Oz et yOz, sont des lignes de plus grande pente, et simultanément des lignes de faite ou des thalwegs suivant qu'on prend la surface en relief ou en creux.