Surfaces enveloppes
1°. — Soit un faisceau de surfaces :
f(æ, y, 3, a) —0. (4) Pour chaque valeur de +, nous avons une surface du faisceau dont la forme et la position dépendent de la valeur du paramètre 3. Faisons varier æ de —c à + >; nous obtenons une infinité de surfaces qui peuvent occuper tout l’espace ou laisser intacte une portion de l’espace. Dans ce dernier cas, le volume qu'elles atteignent est
SURFACES. COURBES TRACÉES SUR LES SURFACES 473 limité par une surface qui est leur enveloppe ; chaque surface du faisceau est une enveloppée (comparer à la définition des courbes enveloppes, $ 129, et généraliser le 5° de ce paragraphe).
®%,— Si l'on donne à + successivement les valeurs z et + d>, on obtient deux surfaces du faisceau (1) qui diffèrent infiniment peu de forme et de position. Nous admettons qu'elles se coupent suivant une ligne dont la position limite est parfaitement déterminée quand d2 tend vers zéro (c'est l'hypothèse même qu'il existe une enveloppe). Nous nommerons cette ligne caractéristique. Ses équations sont :
f(æ, y, z, a)== 0, f(æ&,y,23, x da) —=0,
ou, ce qui revient au même :
Ô T, 53,4 ç fey,2a)=0, Es) 4 (2) 3. — L'enveloppe peut être considérée comme le lieu des
caractéristiques (2). On obtient donc son équation en éliminant % entre les équations (2); la surface ‘ainsi déterminée est le lieu des intersections successives des enveloppées, puisqu'elle contient l’une quelconque des caractéristiques (2) et que le paramètre 4 n’y entre plus.
398. Surfaces canaux, tore elliptique, serpentin. 1°. — Les sphères de rayon invariable R dont les centres sont aux points de coordonnées z, $, du plan xOy, ont pour équation :
fo — a+ (y— 8} +R 0 Cherchons une propriété commune à toutes ces sphères. Pour cela
éliminons les paramètres x et & entre (1), et les deux équations tirées de (1) en dérivant successivement par rapport à x et à y :
Substituant dans (1), il reste l'équation aux dérivées partielles :
#41 +p+q)=R?. (3) Elle exprime que la normale en un point quelconque de hauteur
invariable z, fait avec Oz un angle dont Ile cosinus ($ 375, 1°) est constant (propriété géométriquement évidente) et égal à :
= + + ©, TE p+p TR | 2°. — CYLINDRES CIRCULAIRES. — Inversement, l'équation aux dérivées
partielles (3) admet (1) comme intégrale. Cela signifie que toutes les
sphères (1) jouissent de la propriété exprimée par (3); mais cela ne
signifie pas qu'elles sont les seules surfaces qui en jouissent. Considérons, en effet, les surfaces représentées par l'équation :
TE Sn en (4°
Elle exprime ($ 29, 3°) que le carré de la distance d’un point de la surface à une droite du plan z0y, est une constante : elle représente donc tous les cylindres circulaires dont les axes sont sur le plan rOy et dont le rayon est R.
Dérivons successivement (1) par rapport à x et à y ay —arz—b)+(+)zp=0, æ (y— a — b) (1 Hat) 37 —0.
Nous retrouvons bien (3) à partir des équations (4') et (2').
J°. — SURFACES CANAUX. — Reprenons la sphère (1) et imposons au centre une trajectoire autre qu'une droite.
Par exemple, faisons-lui décrire l’ellipse :
œ—= y COS , B— y sin ©. (4) (x — y cos 0 + (y —vsin a) +R. (1)
L'intersection de deux sphères infiniment voisines est l’intersection de la surface FL et de la surface obtenue par dérivation :
(x — y cos o) u
(y — y Sin Q) Ÿ COS oO — 0, œy. SIN © + yv cos © — (u? — y?) sin 9 cos ©. (5)
La surface (5) est un plan parallèle à Oz : la caractéristique, intersection d'une sphère par un plan, est donc un grand cercle. On vérifiera immédiatement que le plan (5) est normal à l’ellipse (4).
En éliminant o entre les équations (4) et (5), nous obtiendrions la surface enveloppe de toutes les sphères de rayon Imvariable R dont le centre est assujetti à décrire l’ellipse (4) ; c’est un cas particulier de ce qu’on appelle un tube ou une surface canal.
#. — SOLUTION sINGULIÈRE. L’équation aux dérivées partielles (3)
est satisfaite si l’on pose : z:—+R, p=—, rés, SE à À
On définit ainsi deux plans P et P' tangents à toutes les sphères (1), à tous les cylindres (1°), généralement aux surfaces enveloppes des sphères, et qui ne sont un cas particulier ni de ces sphères, ni de ces cylindres, ni de ces enveloppes. Ils constituent une solution singulière de l'équation aux dérivées partielles.
2°. — SERPENTIN. — Comme généralisation du problème ci-dessus résolu, on peut supposer que la courbe décrite par le centre de la sphère est gauche. Si, par exemple, c’est une hélice (K 409), la surface enveloppe (surface canal) est un serpentin.
