CHAPITRE XIX

Courbes à double courbure.

402. Éléments caractéristiques d’une courbe autour d’un point.

Avant de déterminer analytiquement la courbe, cherchons à nous

représenter quels sont

Prnormale ses éléments carac-

À LV. Plan normal téristiques au voisi-

T nage d'un point O0

Imaginons un mo-

À bile se déplaçant sur

la courbe. A chaque

0 Normale m7. instant il possède une

p C N vitesse bien déter-

À | minée en grandeur

# Pen osculateur (mais ds die sr nd

a£ porte) ef en direction.

B | Supposons qu'il échappe à la contrainte de rester sur la courbe ; en vertu de son inertie, il décrira une droite OT, qui par définition est la langente à la courbe.

Par le point O, menons un plan normal à la tangente : c’est le plan normal à la courbe. Toute droite menée dans ce plan par le point O est normale à la courbe.

La courbe est gauche, ce qui signifie qu’elle ne peut s'appliquer simultanément par tous ses points sur un plan. Mais deux sécantes voisines OA, OB, menées par le point O, déterminent un plan.

Fig. 264.

| COURBES Fe DOUBLE COURBURE. SURFACES DÉVELOPPABLES 483

à Ouénd les points À et B se rapprochent indéfiniment de O, ce plan

tend vers une limite qui est le plan osculateur. Il contient évidemment la tangente, limite de l’une et l’autre sécantes.

Le plan Ouen et le plan normal se coupent suivant une droite, qu'on appelle normale principale. C’est la normale à l'élément de courbe que l’on peut considérer comme plane au voisinage du point 0.

Cet élément jouit de toutes les propriétés d'une courbe plane, jusqu'aux infiniment petits du second ordre inclusivement. Il a donc un cercle osculaleur qui est naturellement dans le plan osculateur, et un centre de courbure C sur la normale principale.

La distance OC est Le rayon de courbure.

Enfin on est amené à considérer la droite perpendiculaire au plan osculateur, ou, si l’on veut, perpendiculaire à la fois à la tangente et à la RESTE principale : on l'appelle hinormale, pour Séppeler cette définition.

Voici les symboles par lesquels nous représentons les cosinus directeurs (par rapport aux axes de coordonnées rectangulaires Oz, Oy, Oz) des arêtes du trièdre trirectangle formé par la tangente, la normale principale et la binormale :

. ( af:

tangente : : FEAT: SUR de normale principale : eo : : SORE | 2 binormale : ENT. PANTAER