Tangente, plan normal

1° — La distance de deux points voisins O et A de la courbe, points dont les coordonnées sont : x, y, 2; æ+dx, y + dy, 3+dz,

a pour limite la longueur de l'arc ds de courbe. Nous avons donc : ds? — dx? + dy? + dz?. (1) On déduit de là immédiatement l'expression des cosinus directeurs de la tangente :

dx SEC OU MT 9 dr 0 de Ne (2)

Par suite, la tangente au point æ, y, 3, a pour équations :

Eee (he (E) 0

où 6, n, &, sont les coordonnées courantes. Les coordonnées +, y, 3, sont supposées connues en fonction de l'arc s (323, 4°) :

D'où pour le plan normal (( 319) :

Ga) + ny) SH) 0 (9)

2%. — Généralement la courbe est exprimée en fonction d'un paramètre variable £ qui n’est pas l'arc si v—oq(t), y—x(t), 2=90).. (5) Nous poserons pour abréger :

M9 Me 4 ST M tr M Ne te ET

D'où : ds = da + dy +dr#—(p?+ytLu de.

Pour que la variable £ mesure l'arc de courbe, il faut qu'on ait :

En utilisant les équations (5), les équations de la tangente prennent la forme :

Ga): =m—y)x=(6—2):#',; 9, 4, Ÿ, sont les valeurs de ces fonctions Pons le point x, y, dc contact. Le plan normal devient :

3. — Comme toute autre courbe, la droite peut être exprimée en fonction d'un paramètre. anus comme paramètre la distance s à l’un de ses points x, y, 3; ses équations s'écrivent ($ 323, 40) :

— æ + 84, a—=y + 58, = 2-57; (6) 2, , y, sont ses cosinus directeurs. On a en effet : CE) (ny (st (Bt Quand les cosinus directeurs 4, 8, y, de la tangente à une courbe

sont connus, les équations (6) peuvent servir à la représenter. Dans le cas général, les équations de la tangente ont la forme :

É=athrp, n—=y—+rx, 2";

r est le paramètre variable définissant les points de la tangente.