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Donc la courbe cherchée MN est à l'infini pour — 0 ; elle aboutit au point N de coordonnées y=r, SH: 4.

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| Sa pente, égale à tg0 pour «—0, diminue constamment et s'an-

nule au point N. Elle possède en N une tangente horizontale.

2%, — Tant que 4<r:2, le plan yOz est rencontré par la partie de la tangente qui est au-dessus du point de contact, pour x >>#*:2,il est rencontré par la partie qui est au-dessous du point de contact. Quand x varie de r:2 à x, on obtient la courbe NP symétrique de MN. La courbe entière MNP possède donc en N un point de rebroussement : sa tangente de rebroussement est horizontale.

Il est évident que la même courbe est tracée dans tous les plans passant par Oz. On obtiendra donc l’hélicoïde développable par une rotation du plan de la courbe MNP autour de Oz et par un glissement simultané le long de Oz, de manière que le point N décrive l'hélice. Autrement dit, l’héhcoïide développable est une vis de pas H dont la courbe MNP est le profil.

Tout point V de la courbe engendre une hélice de pas H, qui se trouve tout entière sur l’hélicoide. $

3. — On peut considérer l’hélicoïde développable {c’est le cas de toutes les surfaces engendrées par les tangentes à une courbe gauche, surfaces dites réglées développables) comme formée de deux nappes tangentes entre elles suivant l’hélice qui est l’aréte de rebroussement. L'une des nappes Fig. 268.

contient toutes les portions des tangentes quise trouvent avant les points de contact; l’autre, les portions des tangentes qui sont après les points de contact. La figure 268 montre la disposition des deux nappes au moyen de la projection sur æOy. L'intersection de la surface par un plan normal au tableau et passant par Oy, est précisément la courbe MNP de la figure 267.

413. Hélice générale. Surfaces d’égale pente, cônes d’éboulis, remblais. | 1°. — Reprenons la figure 265, mais posons que le cylindre sur lequel nous opérons n'est plus circulaire; il coupe le plan z0y suivant une courbe quelconque C. Nous pouvons encore enrouler

dessus un triangle rectangle ABD ; nous traçons ainsi sur le cylindre

une courbe qui est une hélice générale. Elle conserve de l’'hélice la propriété que sa tangente fait avec le plan +0y un angle invariable.

2. — La surface développable engendrée par les tangentes à cette hélice est d’égale pente. Sa ligne de plus grande pente à une inclinaison Invariable. Ses plans tangents, déterminés par deux génératrices voisines, rencontrent sous un angle constant le plan x0y qui est supposé Rotibnital, Si par un vont quelconque on mène des droites parallèles aux tangentes, on obtient un cône (appelé directeur) de révolution autour d’une verticale ; le résultat est évidemment le même pour l’hélicoïde développable.

3°. — Les surfaces d’'égale pente se présentent chaque fois qu’une route doit avoir ses talus réglés à une pente uniforme. Les éboulis prenant spontanément une pente très sensiblement invariable, ce qu'on appelle généralement cône d’éboulis est en réalité une surface d'égale pente. Un cône de révolution autour d'un axe vertical, et dont on astreint le sommet à décrire une courbe gauche, a pour enveloppe une surface d’égale pente. Le plan tangent à la surface enveloppe est le même tout le long d’une génératrice : nous verrons plus loin (K #16) que cette condition suflit à caractériser une surface développable.

#. — Voici une propriété remarquable des surfaces d’égale pente : l'aire d'une portion finie, limitée par une courbe quelconque, est à sa projection horizontale dans un rapport constant, égal à l'inverse du cosinus de l’inclhinaison. La quadrature d’une surface d’égale pente ne dépend donc que de l'évaluation de l'aire hmitée par une courbe plane.

414. Représentation topographique des surfaces d’égale pente.

1°. — Les lignes de plus grande pente des surfaces d’égale pente sont des droites. Leurs projections sur le plan horizontal sont naturellement des droites: elles sont tangentes à la projection horizontale de l’hélice Bénérale. c'est-à-dire à la courbe C, intersection du cylindre avec x0y (vote le 1° du paragraphe précédent). Les projections des lignes de niveau sont donc les développantes de la courbe C. 2%. — En particulier, les lignes de niveau de l’hélicoïide développable sont des développantes de cercle, ce qu'il est facile de prouver directement.

Surfaces développables.