APR

rure ni duplicature. Nous développerons successivement chacune des

nappes de la surface ($ 412, 3°).

Soit abcde l’arête de rebroussement, c'est-à-dire la courbe gauche dont les tangentes constituent la surface. Décomposons-la en élé-

ments ab, bc, ... dont les prolongements du même côté sont les droites G;, G,,.:... Nous déterminons ainsi les éléments E,, E,,....

d'un polyèdre qui remplacera la surface (fig. 269).

Pour effectuer le développement, appliquons l'élément E, sur le plan. Faisons tourner toute la surface, sauf E,, autour de G,; amenons l'élément E, dans le plan. Faisons tourner toute la surface, sauf E, et E,, autour de G;; amenons l'élément E, dans le plan. Et ainsi de suite. L'opération a lieu sans déchirure ni duplicature, parce que les tangentes infiniment voisines se coupent, autrement dit, parce qu'elles enveloppent une courbe. À cette condition seulement la surface peut être remplacée par un polyèdre développable.

%, — Une courbe tracée sur une surface développable et sa conjuguée sur le plan coupent chaque génératrice sous le même angle. Car la rotation autour de cette génératrice, rotation nécessaire au développement, ne modifie pas cet angle.

D'où résulte que l'angle compris entre les tangentes de deux lignes qui se coupent, conserve également sa grandeur, parce qu'il est la somme ou la différence d’angles qui ne sont pas modiliés.

3°. — Le rapport des rayons de courbure en deux points correspondants d’une ligne tracée sur une surface développable et de sa transformée plane est égal au cosinus de l’angle w que fait le plan osculateur de la ligne avec le plan tangent à la surface.

Je ne démontre pas cette proposition : en voici deux cas particuliers utiles. ;

#, — Quand une courbe tracée sur une surface développable est tangente à une génératrice, son rayon de courbure au point de contact n'est pas altéré par le développement. En effet, des deux tangentes infiniment voisines qui servent à définir le rayon de courbure, l’une coïncide avec la génératrice, l’autre tourne autour de cette génératrice; leur angle n'est pas altéré par le développement. C’est une application de la proposition précédente : l'angle © est infiniment petit, le plan osculateur est tangent à la surface.

D'où le corollaire : dans le développement, l’arête de rebroussement conserve sa courbure en tous ses points. En effet, elle est en tous ses points tangente aux génératrices.

9°. — Par exemple, nous savons que le rayon de courbure d’une hélice est constant et égal à :

= Tr; cos? 6,

Nous concluons que, dans le développement d'un hélicoïde développable, l'hélice (arête de rebroussement) se transforme en une circon-

; ‘2 } perl à 2 À 3 AC PA AU ve | L À # ù s

férence de rayon 5. Comme la longueur d’une spire est 2#r : cos 6. ? x 2

l'angle % (en radians) occupé sur le cercle de rayon pe par la transformée d'une spire est :

W—2rr : p cos 4 — 2x cos À.

6. — Un plan, normal en M à la surface développable, coupe cette surface suivant une courbe dont la conjuguée plane possède un point d’inflexion ‘au conjugué du point M (fig. 269).

Pour s’en assurer, que le lecteur suppose l'élément E, au-dessous du plan du tableau pris pour plan de l'élément E, auquel le plan P est normal. RACE

Si E, faisait avec E, un angle droit, l’intersection de P et de E, serait normale à G,; son rabattement sur le tableau serait CD”. Si l'angle EE, était nul, le rabattement de l'intersection serait la trace même du plan P.Parsuite, quel que soit l'angle de E, avec E,, le rabattement né-

Fig. 269. cessairementcomprisentre les limites qui viennent d'être déterminées sera dans l'angle obtus de la trace de P avec G2.

Même raisonnement pour G,;. D'où résulte que la courbe ABCD passe de part et d'autre de sa tangente au point M qui est un point d’inflexion.

C'est un cas particulier de la proposition 3°; l'angle w est droit.

Le raisonnement tombe en défaut quand P est à la fois normal à la surface en M et à la génératrice qui passe par M. La conjuguée de l'intersection dans le plan présente avec sa tangente un contact du troisième ordre.

416. Équation aux dérivées partielles des surfaces développables.

1°. — D'après la manière dont nous réalisons les surfaces développables, le plan tangent est nécessairement le même tout le long d'une génératrice : en effet, deux génératrices infiniment voisines se coupant, elles déterminent un plan qui devient tangent à la surface lorsqu’à la limite elles se confondent.

Soit : 3—L=p(x —X)+ q{(y —Y),

l'équation du plan tangent; X, Y, Z, sont les coordonnées courantes ;

Hit ge nt died

æ, y, 3, sont les coordonnées du point de tangence. Il résulte de ce

que nous venons de rappeler que les coeflicients :

P; q; PTT TU sont constants tout le long d’une génératrice. Quittons cette génératrice sans quitter la surface. Que la surface soit développable ou non, si p et q sont constants, 2— pr —qy est constant; car la variation de cette quantité est alors :

dz dz da pd — qdy = ds —(ÿ de +5 dy) — ds — ds —0.

Revenons aux surfaces développables. Montrons qu'alors p et q ne peuvent généralement pas varier l’un sans l’autre. Supposons, en effet, q variable et p constant. La trace du plan tangent sur z0z est :

Y—=0, Z—pX—3—pr—qy;

elle se déplace parallèlement à elle-même ; la surface est donc nécessairement un cylindre, puisque c'est l'enveloppe de plans parallèles à une droite fixe ($ #18). Même conclusion si p est variable et g constant. Donc, pour les surfaces développables et en dehors du cylindre, p et q ne peuvent pas varier l’un sans l’autre ; conséquemment z—pr—qy, ne peut varier que si p et q varient.

En définitive, on a :

q=F(p), 23—pr—qy—Fi(p)—F,(g).

Telles sont les relations qui définissent une surface développable quelconque.

2%. — Dans la relation: g—F{(p), (4)

intervient une fonction arbitraire F. Choisir cette fonction, c’est

choisir la surface développable. Nous pouvons trouver une relation

équivalente à la condition (1) et d’où la fonction arbitraire a disparu. Dérivons (1) successivement par rapport à æ et à y :

MG AE QD, 2 AN dx dp dx dD>:

dg ,dF dp dF V5 70p 0y.T dp Des deux relations :

ns EE. LA r d RUE D D ?

on tire :

sk Oz ‘\e d?z Ù!'z s°— rt 0, (5207) TT dE dp | (2)

Telle est l'équation aux dérivées partielles du second ordre qui s'applique à toutes les surfaces développables. Nous verrons plus loin ($ 461) ce qu'elle exprime.

Cours de Mathématiques générales. — H. BOUASSE. 32

417. Autre manière de définir les surfaces développables. Cônes directeurs.

Reprenons la définition des surfaces développables. 1°. — En général, les trois constantes qui entrent dans l'équation

du plan tangent : p, q, 3 — pr —qy,

dépendent de deux variables (x, y, par exemple). Etudions ce qui arrive dans le cas où elles ne sont fonction que d’une variable. Nous avons alors un faisceau de plans :

ZL=pX+qY+c, dont les constantes p, qg, c, sont fonction d’un paramètre : ils enveloppent une surface que nous allons montrer développable.

Il est d'abord évident que l'intersection de deux plans voisins du faisceau, la caractéristique ( 397), est une droite. Donc la surface enveloppe des positions du plan mobile est réglée : elle peut être considérée comme engendrée par une droite qui se meut.

Trois positions infiniment voisines 1, 2, 3, du plan mobile déterminent deux caractéristiques qui appartiennent toutes deux au plan 2; par conséquent, elles se coupent. On peut donc considérer les caractéristiques comme tangentes à une courbe gauche.

En général, une enveloppée touche l'enveloppe tout le long de la caractéristique correspondante : donc la surface enveloppe que nous étudions, est tangente au même plan tout le long de chacune de ses génératrices rectilignes. Elle possède donc tous les caractères propres aux surfaces développables précédemment définies.