CONES DIRECTEURS

Une surface réglée quelconque est engendrée par une droite qui se meut.

On appelle cône directeur d'une surface réglée, en particulier d’une surface développable, le cône obtenu en menant par un point S des parallèles à toutes les génératrices rectilignes ; nous avons déjà vu que les cônes directeurs de l’hélicoïde développable et des surfaces d'égale pente sont de révolution ($ 413, 9°).

Le plan tangent à une surface développable le long d'une génératrice est évidemment parallèle au plan tangent au cône directeur qui correspond à la même génératrice transportée parallèlement à elle-même de manière à passer par le point S.

En général, les plans tangents d’une surface, transportés parallèlement à eux-mêmes de manière à passer par un point S, ne sont pas tangents à un cône. En d’autres termes, les normales à ces plans menées par le point S ne forment pas un cône; elles remplissent complètement l’espace entier ou une portion de l’espace. Cela vient de ce que les deux constantes p, q, qui entrent dans l’équation du plan tangent (nous prenons le point S pour origine des coordonnées) :

ZL=pX+gqY,

ne sont pas fonction d'un seul paramètre. Lorsqu'ils le sont, la surface est développable; les plans parallèles aux plans tangents “enveloppent un cône qui est directeur pour cette surface. C’est dire : qu'il contient les parallèles aux génératrices rectilignes menées par son sommet.