Cylindres

1°. — La plus simple des surfaces développables est le cylindre, surface engendrée par une droite qui se meut parallèlement à ellemême, en s'appuyant sur une courbe appelée directrice. Les génératrices passent toutes par un point à l'infini; il est loisible de les considérer comme tangentes à une courbe gauche évanouissante qui est ce point.

Les équations des génératrices ont la forme :

x — 34 P(u), y = mz+Q(u); (1) let m sont des constantes, P et Q sont des fonctions du paramètre variable u. La droite a une direction invariable: elle s'appuie sur la courbe tracée dans le plan x0y :

set, rare P{a), y —=Q({u).

Eliminons u entre les équations (1); on a l'équation générale du cylindre en quantités finies :

x — lz— f(y — ma). (2) D, __ Cherchons l'équation aux dérivées partielles de la surface

cylindrique, c’est-à-dire une relation s'appliquant indifféremment à tous les cylindres.

La fonction f peut être considérée comme dépendant de la variable auxihaire {—7y—mz, qui est fonction de x et de y, puisque z est fonction de ces variables. On a donc :

| Of LOT. 0 dz df 7 LAS

| dx dt dx — "oz dt — "dx /?

OP: dir 01 ; 1 DE ? AE SA Wracop (4 né 5) dd — (1 nie Me

| en écrivant df: dt—/f'". Bien entendu, une fois la dérivation

totale effectuée par rapport à {, nous remplacerons la variable auxiliaire par y — mz.

Ceci posé, dérivons (2) successivement par rapport à æ et à y : 0z 0z 0z 0z a dE met es = (im). (3) Divisons membre à membre les équations (3) ; il reste :

dx "Ds l=lS +m dy ? {= lp + mg. (4)

3. — L'équation (4) exprime une propriété absolument générale des cylindres, indépendante des conditions particulières de direction des génératrices et du choix de la directrice; à savoir que le plan tangent est parallèle à une direction invariable.

En effet, le plan tangent a pour équation : 2—L=plx—X)+q{(y—Y).

Le plan parallèle mené par l’origine est :

Z—pX + qY.

Il passe par la droite invariable :

Asstl, Y= MZ, si l’on a identiquement :

1=pl+qm.

#. — Réciproquement, pour savoir si une surface est cylindrique, on cherche à mettre son équation sous la forme (4). On exprime que la somme des dérivées partielles de z par rapport à x et à y, multipliées par des constantes, est une constante.

Pour éviter certaines difficultés, prenons la droite sous la forme plus générale :

z—P y—Q 3—R Rr

et soit F{x, y, z)—0, l'équation de la surface.

On a identiquement :

dF dF dF dF dF dF dF De 0 7e 1, PRE ET te Coer . L’équation (4) prend la forme :

dF dF dF Dr

Soit, par exemple, la surface (f 337, 2) :

a? + 2az — 0.

dF dF dF On a : 5x —=?? au — 9a

L'équation à satisfaire identiquement est :

Lx + na —0; d’où: V—n—0.

La droite à laquelle toutes les génératrices sont parallèles est Oy, dont les équations sont æ—0, z—0.

5. — L'équation (4) est un cas particulier de l'équation (2) du $ 416. Dérivons-la successivement par rapport à æ et à y, en remarquant que / et m sont des constantes :

dp 0, dp Op L Fe pe ge Mag lr + ms—0, ls mt—0; $— rt —0.

Le cylindre est une surface développable qui n’a qu'une nappe à distance finie.