Développement du cylindre
1°. — Pour développer un cylindre quelconque, nous le fendrons suivant une génératrice et nous le déroulerons sur le plan. Cette opération est bien un cas particulier de la méthode générale du $ #15 : l’'arête de rebroussement évanouissante est un point à l'infini; les éléments E de la surface développable sont des bandes comprises entre deux génératrices voisines. Ceci, quel que soit le cylindre.
( | | | | ( Ü y © SIT à Ÿ Fig. 270.
2%. — Comme exemple, soit à développer une section plane d'un
cylindre droit à base circulaire (fig. 270).
Déterminons le développement par le calcul.
Il faut couper le cylindre :
am Lyt= rt, + ;par le plan: 3— Z0 + ax.
Nous avons :
L=rCAr] 3 —= 39 + ar cos 2.
Le développement est une sinusoïde. La courbe à des points d'inflexion qui correspondent aux points du cylindre (projetés orthogonalement sur le point M du plan 30z) où le plan sécant (projeté en AC) coupe normalement le cylindre ($ 415, 6°).
REMARQUE
On peut supposer le cylindre formé d’une infinité d'épaisseurs de papier infiniment mince. Le développement s'étend en une courbe périodique indéfinie ; la période est la longueur de la circonférence de base, soit 2+r. |
Re ho | COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES 420. Cônes.
1°. — On appelle cône la surface engendrée par, une droite qui passe par un point fixe S et s'appuie sur une courbe appelée directrice.
Le cylindre est donc un cas particulier du cône : le sommet S est à l'infini.
Soit a, b, c, les, coordonnées du sommet ; les équations d’une génératrice sont :
(@—a)=P{u).(s—c), y—bæQ(u).(s—c); (1) u est un paramètre variable.
2%. — Cherchons l'équation aux dérivées partielles des surfaces
coniques. Fliminons u entre les équations (1). On a l’équation générale du cône en quantités finies :
(Es 0
a, b, c, sont des constantes ; f est une fonction de x et de y, qu'on peut aussi considérer comme fonction de la variable auxiliaire :
Qf 4:d/f 06... df "y 0»
ie nier 4 O0 : © dt (z—c} dx ?
“Of af 0: df l y—b Ùz dy dE = | (z—c} |
Ceci posé, dérivons successivement (2) par rapport à æ et à y, multiplions par (3 — c} :
Date , Ù3 (3—c)— (x — a) dx — (y — b)f dx ?
UN PA DD RENTAL (sr l(e-o-v-n] Éliminons f' entre ces équations. Il reste :
ae dz ÔZ sera) D + (y 0) (4)
3°. — La propriété indépendante du cône considéré qu'exprime l'équation (4), est que le plan tangent passe par un point fixe. L'équation de ce plan est en effet :
3— L=— plz —X) + q(y — Y).
Écrivons que cette équation est identiquement satisfaite par : : X—a, Y—h, Z—c; nous retrouvons l'équation (4).
#. — L'équation (4) est un cas particulier de l'équation (2) du K #16.
GK Er X
Dérivons successivement par rapport à æ et par rapport à y, en observant que a, b, c, sont des constantes ; il vient les conditions :
(&—a)rt(y—b)s=0, (r—a)s+(y—b)t—0:
d'où : st — rt —(.
Les deux nappes de la surface développable qu'est le cône, sont les deux cônes opposés par le sommet.
