Étude particulière du cône du second degré

1°. — Le cône du second degré est engendré par une droite qui passe par un point fixe S et s'appuie sur une conique ; le point S est hors du plan de la conique. Si la conique est une ellipse ou une parabole, elle est tout entière sur une des nappes du cône ; si c’est une hyperbole, elle est moitié sur une nappe, moitié sur l'autre.

2, — Plaçons la conique (supposée centrée) dans le plan x0Oy ; donnons-lui l'origine pour centre, les axes de coordonnées pour axes. Son équation est :

x? 7E a? ti #4 = 1. (1)

Soit T5, Yo, %, les coordonnées du point S.

Écrivons que la droite :

D— X—=l(3 — %), Y—Y—=mM(z— 3%), (2) qui passe par S, s'appuie sur la conique. Faisons 3—0, substituons dans (1) les valeurs de x et de y tirées de (2); nous trouvons entre Let m la condition :

(2 hu à D Goma) 4,

Remplaçons { et m par leurs valeurs (2) ; l'équation du cône est :

/ 2 æ 2 / 2 RSA 271 T—%Lo \? LR Yo Y — Yo \?

AE LE TR E RT eNTerT eur tpm, à #() SE ) #( MT RD

équation du second degré qui est de la forme (2) du paragraphe précédent.

3. — Quand la conique est une parabole, on procède de même. Il est évident que le cône a l’une de ses génératrices parallèle au plan de la parabole (K 104).

4#.— En définitive, quelle que soit la conique, nous trouvons pour le cône une équation du second degré ; c'est done une quadrique. Nous savons (K 336) que parmi les quadriques, les cônes (qui sont nécessairement des quadriques centrées) peuvent se ramener à la forme :

1/2 2° + * Et (3)

Cherchons les sections cycliques de cette surface dont le sommet

504 NPA RE URS DE MATHÉMA TIQUES SGÉNÉRAEES

est à l’origine. Utilisons la méthode du $ 340. La sphère que nous emploierons a un rayon ns

— -+- r? SAT = 0. (4) Retranchons (#4) de (3); il vient :

YA {l Il 1 1 1 er) +v (5 mer (+)

équation satisfaite si l'on pose :

1 1 1 , y Enr en LS à

Les deux plans (5) et tous les plans parallèles coupent le cône suivant des cercles. | Donc tout cône du second degré peut être considéré de deux manières différentes comme cône oblique à base circulaire. : Si le cône est de révolution autour de Oz (a—b), ses sections cycliques (5) sont confondues entre elles et avec le plan æ0y (3— 0): on a le cône droit à base circulaire.