Développement du cône

1°. — Pour développer un cône quelconque, nous le fendons suivant une génératrice; l’arête de rebroussement est 1c1 évanouissante ; elle se réduit au sommet. Sa conjuguée dans le développement est un point.

2%. — Comme exemple, développons une section plane CFD d’un cône droit à base circulaire, section inclinée de l’angle 0 sur la section droite.

Supposons qu'elle ne touche qu'une des nappes de la surface développable : la section est une ellipse ; cherchons sa conjuguée dans le plan (fig.

Fig. 21. Menons par l'axe un plan AOE défini par l'angle à.

Soit u l'angle correspondant des génératrices AB, AE, angle mesuré sur le cône.

Posons AB—4,, OB=—7r,. On a évidemment :

Calculons : EF =? — po.

| COURBES A DOUBLE COURBURE. SURFACES DÉVELOPPABLES 505 Dans le triangle sphérique formé par les droites OE, OD, OF, triangle rectangle en E, on a ($ 73, quatrième formule) : tg 6 — tg0. cos à.

Dans le triangle OEF, on a :

EF D DD GUN OËE — " - sm(y—f8) sin 7 cos — cos Ÿ sin tg 9 cos à

sin — tg 0 cos 4. COS Ÿ Dans le triangle AOB, on a :

COS + = ro : Pos = Lis: 0$,

Substituant dans la formule précédente, il vient :

ne 7. te mx ee au Art Con re ee |. (1)

Telle est l'équation en coordonnées polaires 9 et u de la conjuguée de la section plane.

3°. — Comme nous pouvons supposer le cône formé d’une infinité d’épaisseurs de papier infiniment mince, la courbe obtenue se répète un nombre infini de fois. Elle reste comprise entre deux cercles de rAYON : b02o : [Zo + rotg6]. Chaque période est limitée par deux droites, passant par l’ori- | gine des coordonnées et faisant entre elles l’angle :

U= 27" : po.

Pour 6—0, la courbe se réduit à un cercle, ce qui est évident.

Pour les valeurs de 6 comprises entre Ü et le demiangle au sommet du cône, la courbe a partout une courbure de même sens. Il ne peut exister de point d’inflexion en vertu du $ 415, 6°

Pour 6 égal au demi-angle au sommet du cône, le plan d'intersection est normal au cône pour 5 minimum et simultanément normal à la génératrice : la courbe conjuguée présente un contact du troisième oédre avec sa tangente pour le minimum du rayon vecteur (S 415, 6°).

Enfin, pour les valeurs supérieures de 6, le plan d’intersection est normal au cône pour deux points ; la courbe plane a donc deux points d'inflexion. Elle ressemble à une sinusoïde (fig. 272) en coordonnées polaires.

Nous laissons au lecteur le soin de discuter le cas où le plan

Fig. 272.

sécant coupe les deux nappes du cône. La courbe possède naturellement des branches infinies.

423: Application du développement conique : construction des cartes.

1°. — Pour représenter les points d’une sphère sur un plan, on les projette sur un cône qu'on développe.

On prend le cône tangent à la sphère suivant le parallèle de latitude v,, par conséquent le long d’un cercle de longueur 2rR cos v,. Les méridiens se projettent sur ce cône suivant des génératrices. Le cane-

Fig. 273.

vas principal de la carte se composera donc après développement : 1° de droites concourantes au point S qui correspondent aux méridiens ; 2° de cercles ayant ce point S comme centre qui correspondent aux parallèles : (fig. 273).

Appelons R, non le rayon terrestre, mais le rayon de la sphère sur laquelle Aoû opérons. On a :

VASE De coiru, AAA ROLE COS v, ; d'où : Q — A'AA" : SA —2rsinv,.

Par exemple, si le cercle de tangence correspond à la latitude 45°, on a : | Q — 7 V2 — 4,443, soit sensiblement 255°.

Sur le a les points sont rapportés à des coordonnées polaires. Nous apprendrons tout à l'heure à évaluer le rayon vecteur 5; quant à l'angle w, compté à partir du méridien origine SS, on a : © — üU SIN Vo, où u est la longitude. En effet, pour u — 27, «w doit être égal à Q.

Spécifions maintenant le mode de projection des parallèles.

| COURBES À DOUBLE COURBURE. SURFACES DÉVELOPPABLES 507 D, — PERSPECTIVE.

Pour point de vue prenons le centre O de la sphère. Le point P vient en C. Dans le triangle OAC, on a :

s — AC—Rtg(v—u), s— È—5—R{cotg ou, —tg(v—v,)|.

La carte s'étend jusqu'au sommet S.