CHAPITRE XX

Étude générale des systèmes de droites.

428. Surfaces réglées ; congruences, complexes de droites. Soit les équations d’une droite ($ 323) :

DD Ya v.. B m n

æ — p + lé, y—=q—#+ mt, 3—=r-tant. (1)

Quand les quantités !, m, n, p, q, r, dépendent d’un paramètre u, les coordonnées æ, y, z, sont exprimées en fonction de deux variables u, {. Les équations (1) représentent une surface évidemment réglée, c'est-à-dire constituée par les positions successives d’une droite qui se déplace. Si u est constant et { variable, on décrit une génératrice ; si u est variable et { constant, on décrit une certaine courbe empruntant un point à chaque génératrice.

Quand les quantités !, m,.... dépendent de deux paramètres u, v, on a une congruence de droites. Chaque point À de l’espace est traversé par une ou plusieurs droites de la congruence. |

Remplaçons æ, y, z, par les coordonnées du point A ; nous avons trois équations à trois inconnües u, v, {, qui sont généralement satisfaites par un nombre fini de valeurs de ces variables.

Quand il existe trois paramètres, on a un complexe de droites. Chaque point de l’espace est le sommet d’un cône dont les génératrices appartiennent au complexe.

S'il existait plus de trois paramètres, toutes les droites possibles appartiendraient au système de droites. Nous n’aurons à considérer par la suite que des surfaces réglées et des congruences.

à ou encore :

de AN MERE PE LMP het e Le QT MR MS decex DONS LOT ARE RS Er ANG À PRE END TRES LOPRL Ÿ €

SURFACES SAR : NON DÉ) VELOPPABLES | 513 429. ‘Relations de deux droites voisines d’un système de

droites.

Soit les équations de deux droites voisines :

æ—p+lt, : y—=q—+mt, 3—=r—+nt; 2 —p+dp+(l+dlt, y=q+dq+(m+dmyt, —=(r + dr) + (n+ dn)t.

Posons : A—mdn—ndm, B—ndl—ldn, C—ldm— mdl.

1°. — Déterminons l'angle 6 des deux droites. Nous ne pouvons pas nous servir du cosinus de cet angle, car le cosinus d’un angle petit est égal à l’unité, aux quantités du deuxième ordre près. Nous

utiliserons donc la formule donnant sin 6—6{($ 316,4); on trouve en négligeant les quantités infiniment petites devant les quantités finies :

0 — VA? + B? + C:? À | (4) PH mn?

2%, — La plus courte distance des deux droites est immédiatement donnée par la formule du $ 327 :

Adp + Bdq + Cdr (2) VA+BECG Fr

On appelle paramètre de distribution le rapport :

__à __(Adp+Bdg+Cdr)(P+m+n) (3)

RG A? B? + C?

C'est généralement une quantité finie.

3°. — Calculons les cosinus directeurs à, y, v, de la perpendicu-

lire commune. On a ($ 28) :

+ my+ny=0, (Hdi) i+(m+dm)y+(n+dn)v=0.

aa A B D'où : == À A == = VA? B:-+ C: : VA?+ B:+ C:

Fa C VAE TC #. — Enfin déterminons le point I où la perpendiculaire commune touche les génératrices. Il est caractérisé par une certaine

valeur de la variable £#. Appliquons les formules du $ 328: elles deviennent, aux quantités négligeables près :

P,=P = mdr — ndq, Q—=Q—=ndp — ldr,

! R,=R— {dqg — mdp ;

y. AP+BQ+CR 1s : AE B: LC

Cours de Mathématiques générales. — H. BOUASSE. 33

Fe Ma ARE ABRIS Le PP

514 Co URS DE MA THÉMATIQUES NE