Plan tangent aux surfaces réglées

1°. — Un plan qui contient une génératrice G, coupe la surface réglée suivant une autre courbe C. En effet, les génératrices voisines de G et situées de part et d'autre rencontrent le plan chacune en un point ; l’ensemble de ces points forme une courbe. Comme cas particulier, cette courbe est une droite (paraboloïdes, hyperboloïdes).

®%. — Il résulte de là que tout plan contenant une génératrice est tangent à la surface en un point P ; c’est celui où la courbe C déterminée par le plan coupe la génératrice G. Le plan contient, en effet, autour du point P deux éléments de courbes tracés sur la surface ; il contient, par suite, tous les points voisins de P; car ceux-ci forment un plan quand on se limite aux infiniment petits du premier

SURFACES RÉGLÉES NON DÉVELOPPABLES 515 ordre. Un cas fait exception, celui des surfaces développables, où le plan tangent est unique et le même tout le long de la génératrice. 3. — Cherchons l'équation du plan tangent au point P défini par les valeurs, u, {, des paramètres.

Écrivons d’abord que le plan passe par le point de contact choisi : X, Y, Z. Son équation est :

Écrivons qu'il contient la génératrice passant par le point de contact. On a :

X— p—+ lt, Y=q+ mt, ZL=r—<+ nt; a(æ — p— lt) + by — q — mt) +c(z—r— nt) =0.

Cette équation devant être satisfaite quel que soit #, il faut écrire : a(x — p)+ b(y —q)+c(z—r)—=0. (1) | al + bm + cn —0. (2)

Exprimons enfin que le plan passe par le point P' voisin de P obtenu en laissant € invariable et en remplaçant u par u + du ;

par conséquent, P’ se trouve sur la génératrice G voisine de G. On a comme condition :

oX OY 02 a (2 As du) — (y — Y — ve du) — e(2 res du) — (),.

a(p+lt) Lb(g +m't) Le(r' Hnt) =0. (3)

L'élimination de à, b, c, entre & les équations (1), (2), (3}, donne D l'équation du plan cherché.

O0 — ?2 int central y0z = -Pl8 an cerlrel