Congruences ; caustiques

Quand les droites forment une congruence, les quantités /, m, n, p, q, r, dépendent de deux paramètres u, v. Tout point de l'espace appartient à une ou plusieurs droites du système.

Le problème est de grouper ces lignes de la manière la plus commode.

1°. — Demandons-nous d’abord si l’on ne pourrait pas effectuer ce groupement de manière que la distance d’une génératrice aux génératrices voisines du même groupe soit nulle, ou soit infiniment petit d'ordre supérieur par rapport aux variations du, dv, prises comme infiniment petits principaux. Nous devons écrire ($ 429) :

pe, Adp + Bdg + Cdr = 0. (4) On a :

dn on dm dm a=m( du+ de) —n( du+ de):

Effectuant les calculs, l'équation (1) se met évidemment sous la forme suivante, du second degré en du, dv :

du? + $5dv° + Cdu dv —0.

Nous avons donc généralement, pour chaque système dé valeurs de u et de v, deux valeurs du rapport du:dv qui annulent à. Mais, nous donner u et v, c’est choisir une droite D du système. Prendre une valeur du:dv, c’est grouper autour de D certaines droites du système. Nous venons donc de démontrer qu'il est possible de choisir, parmi les droites voisines de D, deux systèmes pour chacun desquels la plus courte distance à s’annule. Ce qui revient à dire que chacun de ces systèmes forme un élément de surface développable, ou que les droites de chacun de ces systèmes sont tangentes à un élément de courbe gauche, arête de rebroussement de la surface développable.

PT ERA NT PR NR RT s

Le lecteur réfléchira sur le raisonnement précédent ; il éclaire ce que signifie la locution si souvent employée dans les pages précédentes, que pour les surfaces développables, les génératrices voisines se coupent. Nous supposons que leur position dépend d’un paramètre ; nous comparons la distance à de deux génératrices à la variation À du paramètre ; nous disons que les génératrices se coupent si le rapport