PC RÉ SR E

ce qui revient à poser à: l—}.

1°. — Les génératrices de chaque système sont respectivement parallèles aux plans directeurs P, et P, (fig. 215).

En effet, les projections sur æ07y ont une direction invariable, paral-

lèle à l’une des droites : ——+#, (4) a h

suivant lesquelles la surface est coupée par le plan 3—0. Les plans directeurs sont définis par ces droites et l'axe Oz. L'intersection de

ces plans par un plan PES détermine les asymptotes de l'hyperbole d’intersection du paraboloïde avec le même plan :

MR %, — Les projections des génératrices sur x0y et x0z enveloppent

les paraboles d’intersection du paraboloïde par ces plans.

C’est un cas particulier de la proposition du $ 401 que nous laissons au lecteur le soin de démontrer directement.

La proposition ne s'applique pas au plan 707; nous savons que l'intersection est réduite aux droites (1); mais les projections des génératrices sont des droites parallèles qui n'ont pas d’'enveloppe (ou, si l'on veut, qui admettent pour enveloppe un point à l'infini).

3. — Deux génératrices quelconques de systèmes différents se coupent ; deux génératrices du même système ne se coupent pas.

Soit les génératrices de systèmes différents :

a L : PNY a RE IAE a y x y Z

Les quatre équations à trois inconnues +, y, z, sont compatibles et donnent : 2z—)y, équation qui détermine le point d'intersection.

Pour deux génératrices différentes du même système, les équations ne sont pas compatibles. Cela revient à dire que le paraboloïde hyperbolique n'est pas développable.

4°. — Le plan tangent au paraboloïde contient les deux génératrices qui passent par le point de contact.

C'est évident d’après le $ 431. Nous laissons au lecteur le soin d'une démonstration directe. Nous lui conseillons de construire avec du fil et une carcasse métallique un paraboloïde et de se rendre

compte de la rotation du plan tangent. Les paragraphes suivants lui faciliteront la besogne.

443. Surfaces engendrées par une droite satisfaisant à certaines conditions.

1°. — La DROITE S'APPUIE SUR DEUX DROITES QUELCONQUES ET RESTE PARALLÈLE À UN PLAN P.

Prenons pour axe Oz la direction B ; pour axe Oy, l’une des génératrices ; pour plan æ0y le plan directeur P, enfin pour plan 30 un

plan parallèle à la directrice A (fig. 281).

Les équations des projections A’ et A” de la directrice À sont : y =OD a, x = mz.

Cherchons les projections de la génératrice MN.

La projection sur +03 est parallèle à Ox d'après l'énoncé. On a

Les Ne vie du point N sont