Surface réglée à directrices rectilignes quel

conques.

1°. — Prenons pour directrices trois droites quelconques À, B, C.

Par À menons un plan parallèle à C; il coupe B en D. Par B,

Sid ne AE mi > Fe « * 2;

SURFACES RÉGLÉES NON DÉVELOPPABLES 533 menons un plan parallèle à A: il coupe C en E. Enfin, par C, menons un plan parallèle à B; 1l coupe A en F.

Achevons le parallélipipède. Par son centre O, menons trois

droites parallèles à A, B, C; elles nous serviront d’'axes obliques. Les équations des trois droites sont :

A: 4e, 1 ARS AR C xæ——a, 3—=—C; T—a, y—=— b.

2%. — Cherchons l'équation d’une droite qui s'appuie sur A, B, C.

Fig. 285.

Sa projection sur +03 doit passer par la trace & sur ce plan de la droite B; donc l'équation de cette projection est de la forme :

æ—a—}N(z—C), (1) où À est un paramètre à déterminer.

Sa projection sur yOz doit passer par la trace + sur ce plan de la droite À ; donc l'équation de cette projection est de la forme :

y—b= y: +0), (2) où y. est un paramètre à déterminer.

Enfin sa projection sur z0y doit passer par la trace + sur ce plan de la droite C; donc l'équation de cette projection est la forme : 2+a=\y+5) 0) Remplaçons dans (3) æ et y par leurs valeurs tirées de (1) et de (2); nous obtenons une équation en 3 qui doit être identiquement vérifiée. D'où les conditions :

2a — jc — 2h —vyc—=0, RSR:

ou encore : a—ÀcC— by = 0.

Substituons à À et v leurs valeurs tirées de (1) et de (3); 1l vient :

azy — Ccxy — hzx + abc = 0,

C'est une surface centrée, puisque rien n’est modifié dans l’équation quand on change x, y, 3, en —x,—y,— 3. Le degré ne change pas si on la rapporte à des axes rectangulaires (K 318, 2). Ce n’est pas un cône : donc c’est un hyperboloïde à une nappe.

3°. — Il résulte de là que trois droites quelconques font partie de l’un des systèmes de génératrices rectilignes d’un hyperboloïde qui par là même se trouve déterminé.

452. Hélicoïdes; hélicoïdes réglés généraux; vis, hélices de propulsion.

1°. — Hércoines.

. L'hélicoïde est la surface engendrée par une courbe génératrice qui tourne autour d’un axe d’un mouvement uniforme et simultanément

Fig, 286.

se déplace parallèlement à lui avec une vitesse constante. L'enveloppe d’une surface invariable dont tous les points décrivent des hélices coaxiales et de mème pas, est un hélicoïde (par exemple, le serpentin, K 398) : la caractéristique évidemment invariable peut être choisie comme génératrice.

La section’ Tes hélicoïde par un cylindre circulaire coaxial est une hélice.