Sections inclinées
Considérons les sections de la surface par des plans passant tous par une droite quelconque du plan tangent, droite que nous prendrons pour axe Oy.
La section normale est OB.
La section par un plan fai- 0 z sant l’angle 0 avec la section normale est OC. Cherchons la courbure de la courbe OC F au point 0 ; pour cela, appli- B me C quons la proposition du$92,3°.
ie Le rayon de courbure L’ de la section inclinée est la limite ile du quotient OA? : 2 AC; le rayon de courbure £ de la ÿ section normale est la limite Fig. 280. du quotient OA? : 2 AB. Donc le rapport 2’: 9 a pour limite :
AB : AC — cos : p —p cos 6.
Le rayon de courbure d’une section oblique est la projection sur le plan de cette courbe du rayon de cour- : bure de la section normale corresponc dante. Autrement dit, considérons les ù sections par des plans passant par la droite Oy menée dans le plan tangent à la surface (fig. 290): le lieu de leurs D centres de courbure C’ est une circonférence menée dans le plan +02 normal à Oy; elle a comme diamètre le seg- | ment déterminé par le point O et par le 0 centre de courbure C de la section normale passant par Oy.
Pour 4=#;2 où 4 90; Une D section très inclinée a naturellement un rayon de courbure quasi nul. Nous conseillons au lecteur de bien fixer dans son esprit le sens de cette proposition en coupant un pain qui est une
surface courbe maniable et peu coûteuse.
Fig. 290.
COURBURES DES SURFACES 541 456. Congruence des normales, normalies.
Écrivons l'équation de la normale à la surface en un point de coordonnées x,y,:; X Y Z, sont les coordonnées courantes (f 375) : X—x Y—y | RATE à (X—2)Lplz—2=0 (Y—y)+g(2—3)—0.
ZT, Y, 3, P, q, Sont des fonctions des deux variables x, y: les normales forment donc une congruence. À la vérité, cette congruence n'est pas la plus générale; toute congruence ne peut pas être considérée comme formée par les normales à une surface. Mais les théorèmes généraux s'appliquent évidemment à la congruence des normales comme aux autres.
Donc par toute normale passent deux surfaces développables formées d'autres normales: on les appelle normalies (K 435).
Il s’agit de grouper les normales suivant les normalies.
Ces normalies coupent la surface suivant deux faisceaux de courbes qu'on appelle lignes de | courbure ; par tout point de la surface passent donc deux lignes de 0 courbure. Il revient au même de déterminer les normalies ou les a lignes de courbure (fig. 291). Te
Puisque nous prenons æ et y comme variables indépendantes, tout point P de la surface est déterminé par un point P’ du plan x0y; nous élevons en ce point une perpendiculaire sur laquelle nous prenons une longueur P'P convenable. Déterminer les lignes de courbure revient done à tracer leurs projections sur #07; en particulier, à déterminer à partir de tout point P' de ce plan les pentes dy:dx de ces projections.
£erivons donc que les normales voisines du point P, dont les pieds sont sur une certaine courbe PP, de projection P'P',, se coupent. Rappelons qu'on pose :
(Z— z), ou encore :
ou
Fig. 291.
0z 0z P pr dr , q becs 0” dy à 0?3 Ôp d?z ù dq d?z 0g
