Lignes de courbure
4°) —=" On a pour deux points voisins :
a dp Ôp | ds. 0z (X— x— dx)+ (r se SP du)(2 us RP à 0 dy) — 0. (2) Remplaçons les quotients différentiels par les notations convenues. Posons I= dy : dx; retranchons (1) de (2); négligeons les quantités du second ordre. Il reste :
—1+(r+sl)(Z—:) —p(p+al)—0, L—z—(1 + pt + pl) : (r +sl). (3) Recommençons les mêmes calculs pour la seconde équation de la
normale : (V—y)+g(Z—z)—0. (4)
On trouve :
Z—23—[pg +(+o)1]: (s +4). (5)
2%. — L'équation (1) représente un plan M parallèle à Oy ; l’équation (2) représente un plan voisin M’ également parallèle à Oy. Ils se coupent
à suivant une droite D évi-
! FLEUR. demment parallèle à Oy.
L'équation (4) représente Fe M un plan N parallèle à Ox; E, D’ son intersection avec le plan "e z voisin est une droite D' pa-
FE 0 À rallèle à Oz. Pour que les
normales se coupent, il faut
que D et D' se coupent, par suite que les équations
4 (3) et (5) fournissent les
; | mêmes valeurs pour “ Z— AB— CE.
En effet, si quatre plans passent par un point, leurs intersections prises deux à deux passent toutes par ce point.
On a donc la condition :
Lpg + + g9)1] (r + sl) = (1 +p° + pgl) (s + 4). [A+ g)s—patIP HI + gr — (+ p°)1+-[pgr — A+ p'}s] —0: | (6).
3°. — Comme nous l'avons prévu, nous trouvons pour chaque point P de la surface deux directions (correspondantes aux directions I sur le plan +0y) pour lesquelles les normales infiniment voisines se coupent : elles déterminent par définition les éléments des lignes
de courbure qui passent par le point P. De P nous allons en P;. Recommençons le calcul pour P, : nous déterminons un nouvel
542 oe COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉR
Fig. 292.
td de. dre
élément P,P, de la même ligne de courbure. Et ainsi de suite. Nous traçons ainsi une ligne tout le long de laquelle les normales à la surface rencontrent les normales infiniment voisines.
4. — Les normales à une surface forment donc deux faisceaux de surfaces développables. Les arêtes de rebroussement de ces surfaces constituent une surface à deux nappes qui est la caustique
($ 435) de la surface primitive. L'Optique géométrique se réduit à
tC
l'étude des caustiques de surfaces particulières dites surfaces d'onde. 5°. — Le calcul fournit l'équation des lignes de courbure. Résolvons (6) par rapport à I :
d L= Te —f(æ, y).
Intégrons ; nous obtenons, grâce à la constante arbitraire d’intégration, un faisceau de courbes qui sont les projections sur z0y de l’un des faisceaux des lignes de courbure.
La figure 293 représente une surface, les faisceaux des lignes de courbure et les arêtes de rebroussement qui correspondent à deux d’entre elles. Elle est complétée par la figure 300. |
