Rayons de courbure

Calculons les rayons de courbure. Soit X, Y, Z, leurs coordonnées. On a :

p=VR— a) + y} =(Z—s) Vip, (1) en vertu des équations (2) et (3) du $ 375.

Z— z est donné par l’une ou l’autre équation (3) o u (5) du $ 457, équations qui sont compatibles, puisque les normales voisines se rencontrent par hypothèse. Eliminons I entre ces équations, 1l vient :

(rés?) (2 — 2) —[(1 + pp) + (14 q°}r — 2pqs] (Z — Fr +g)=0.

D'où en vertu de (1) :

(ré — st) —[(1 + pt} + (1 + gt}r — 2pgs] V1 + p° +9" ++ p+g}=0 (2) Cette équation donne en chaque point de la surface deux valeurs de » qui sont les rayons de courbure principaux. On a (( 41) :

(tr #4 gr

SUR rl — 5? , 1 ne 1 2\r — 2pqs = PE ( + p°) ane pq VE + pi + q°

Pour retrouver l’expression de la courbure d’une courbe plane tracée dans le plan æ0z, considérons-la comme l'intersection avec x0z d’un cylindre dont les génératrices sont parallèles à Oy. On a :

ré—s —0, (RE dt ere

3 dz\? 17 ; dz UP, ml) li.