Ombilics

1°. — Cherchons les conditions pour qu’un point de la surface soit un ombilic. Il faut que l’indicatrice y soit un cercle, par conséquent que les sections principales ou les lignes de courbure y soient indéterminées.

Écrivons donc que dans l'équation (6) du $ 457, les coefficients des puissances de I (y compris la puissance 0) sont Aute On trouve les

deux conditions : a 7 0 = cure Fe ns PT - (1)

2%. — Erupsoins. — Cherchons les ombilics de l’ellipsoide :

++ Et

On trouve aisément :

da cr y A C'ay PTT ; LIT De) S—— Ts: 2h23 .

b?c?z? —- cty? a?c?z? — c'x?

t—= — bvz3 , PT atz3 .

On vérifiera qu'il existe douze ombilics, quatre dans chacun des plans de symétrie.

Seuls sont réels ceux du plan 03, dans l'hypothèse a b> c.

Posons y—0; qg—s—0; des équations (1), il ne reste que la première, puisque le rapport pq : s est indéterminé. On trouve :

a? — b° MA Es ue : A re À

NRA Ÿ dec 2 T —aY a?— }° Cette formule concorde bien avec celle du $ 340, qui donne les directions des traces sur x0z des sections circulaires. Les directions que nous venons de déterminer sont, en effet, les conjuguées des précédentes.

Or nous savons ($ 111) que le produit des pentes de deux direc-

tions conjuguées, dans une ellipse dont les axes sont à et c, est C2? : ai, pr cn nie on à :

/ b es c” En don VER Er