Points paraboliques ; surfaces développables

1°. — Aux points paraboliques, l’indicatrice se réduit à deux droites parallèles ($ 453, 4°) : ; ra? + 2sxy + ty},

est un carré parfait; d'où la condition rf—s—0.

Un des rayons de courbure principaux est infini; la section principale correspondante est parallèle aux deux droites qui constituent l'indicatrice.

%, — Nous avons démontré, au $ 416, qu’en tout point d'une surface développable la condition rf—s—0, est satisfaite. Elle exprime que tous les points d'une telle surface sont paraboliques, qu’en tous les points un des rayons de courbure principaux est infini, La section principale correspondante est la génératrice rectiligne.

Par suite, un des faisceaux de lignes de courbure des surfaces développables est constitué par les génératrices ; les normalies correspondantes sont des plans. L'autre faisceau se compose des courbes orthogonales aux génératrices, si l’on veut, des développantes gauches de l’arête de rebroussement (K 427).

Sur un cylindre, ces courbes sont des sections droites; sur un cône, ce sont les intersections par les sphères ayant leurs centres au sommet.

3°. — Sur l’arête de rebroussement , un des rayons de courbure principaux est nul, l’autre étant fini ou infini : tous les rayons de courbure sont donc nuls, sauf ce dernier. On peut considérer l'indicatrice comme formée de deux droites confondues ; c’est pourquoi nous rapprochons ce cas des points paraboliques. Comme limite, tous les rayons de courbure peuvent être nuls: c'est ce qui arrive au sommet

d'un cône.