Lignes asymptotiques

1°. — Les lignes asymptotiques sont tangentes en chaque point de la surface à une asymptote de l'indicatrice : tout le long de ces lignes, le rayon de courbure de la section droite qui leur est tancs, est infini. D’après le $ 455, on a p—scosi—, pour toute section inclinée passant par l asymptot de l’indicatrice (b—<c), excepté pour 6—7:2, où p est indéterminé. Donc la ligne asymptotique a le plan tangent à la surface pour plan osculateur. Écrivons donc que le plan tangent :

COURBURES DES SURFACES 547 2—L= plz —X)+q(y — Y),

contient le point de tangence et certains points voisins jusqu’au second ordre près. On trouve immédiatement :

d3 = pd?x + qd°y.

Mais on a identiquement : dz:—pdx +qdy, dz= pdx + qy + dpdx + dqdy.

D'où : dpdæ + dqdy = 0 ; (rdæ + sdy)dx + (sde + tdy)dy =0, rdx? + 2sdrdy + tdy° —0. Posons d—dy:dæ. Les pentes des projections horizontales des lignes asymptotiques sont données par l'équation :

LS? 289 + r —0. (4)