Les rayons de courbure au point B sont BG (rayon de
er cours DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES CU
A UEhne 1 méridienne) et BI. Ilest clair que le rayon de courbure du parallèle BEB est BE; conformément au $ 455, on a :
BE— BI. cos0.
#, — Une surface de révolution peut être considérée comme l’enveloppe d’une sphère de rayon variab'e dont le centre décrit une droite (axe de révolution); les lignes de courbure formant l’un des systèmes sont circulaires (parallèles) (K 378).
La proposition est plus générale : pour toute surface enveloppe d’une sphère dont les éléments dépendent d'un paramètre, les lignes de courbure de l’un des systèmes sont des cercles. La caractéristique ($ 397) est alors un cercle suivant lequel la sphère est tangente à la surface enveloppe; les normales menées à la sphère ou à l'enveloppe forment un cône de révolution (surface développable, normalie) et passent par le sommet du cône. L'une des nappes de la caustique s'évanouit en une courbe, lieu de ce sommet.
Il en est ainsi pour les surfaces canaux ($ 398); la caractéristique est un grand cercle. Si le lieu du centre des sphères (nappe évanouissante de la caustique) est plan, les normalies de l’autre système sont des surfaces d’égale pente dont les arêtes de rebroussement sont des hélices générales ($ 413).
Disons, sans plus insister, qu'il existe des surfaces dont toutes les lignes de courbure sont circulaires; elles sont appelées cyclides de Dupin et obtenues par inversion (K 391) à partir du tore.
466. Rayons de courbure ; lignes asymptotiques. 1°. — Posons :
HS DS Dr, Hs 0p DE Le rayon de courbure de la méridienne est ($ 459) nl Can 20 An :
La normale au point B de coordonnées +, y, a pour équation : (X— x) + p(Z— 3) — 0.
Le point I a pour coordonnées :
ba UN L— 3 —
d’où :
B = VER = l/ 14 VE pe
D'où les formules :
UE D DRE Pie
URFACES 551
| COURBURES DES S . 2e, — Un des rayons de courbure principaux devient infini pour p'—=0 (la méridienne présente un point d'inflexion) ou pour p—0 (la surface est tangente à un plan normal à l'axe de révolution). Suivant le parallèle d'inflexion AI et le parallèle de contact CD, les points de la surface sont paraboliques (fig. 295).
En tout point E du parallèle d'inflexion, les lignes asymptotiques aboutissent tangentiellement à la méridienne, c'est-à-dire viennent se confondre avec une des sections principales. Elles ne peuvent dépasser le parallèle, puisque
leur existence est subordonnée Axe
à l’opposition des courbures. Ce
parallèle est donc le lieu des C D points de rebroussement des lignes He asymptotiques. Les deux branches
du rebroussement appartiennent respectivement aux deux systèmes de lignes.
Les choses ne se passent pas de la même manière sur le cercle de contact quiest, non seulement un lieu de points paraboliques, mais une ligne asymptotique a double. Les lignes asymptotiques lui sont toutes asymptotes.
Expliquons ce que cela signifie.
Au point D les sections principales sont : 1° le méridien: 2° le . Fig. 295. plan normal au méridien et parallèle à l'axe. Ce dernier plan coupe le plan tangent CD suivant une tangente au cercle de contact D. Donc la courbure principale correspondante est bien infinie ; le cercle de contact est une ligne asymptotique.
Elle est double en ce sens qu’elle appartient aux deux systèmes de lignes asymptotiques dont elle est une solution particulière. Les autres lignes asymptotiques ne peuvent l’atteindre, parce qu'en chacun de ses points le plan tangent est unique, ainsi que la section principale pour laquelle le rayon est infini. Il n'y a donc aucun procédé de bifurcation. Comme il faut que les lignes asymptotiques se terminent d’une manière ou d'une autre, il devient nécessaire qu'elles s'enroulent autour du cercle D qui est pour toutes un cercle asymptotique.
