Surface de révolution minima : caténoïde

Posons C—cc; dope 91 22

D’après le 467, l'équation à satisfaire est : y —nD.

Caienoite

& ag Q à, Là.

Fig. 297.

Montrons que la méridienne est la courbe décrite par le foyer B d'une parabole roulant sur une droite XX (fig. 277).

Soit, en effet, la parabole de paramètre p et de directrice GE.

En vertu des propriétés de la tangente (elle fait des angles égaux

avec la droite BD qui joint son point de tangence D au foyer, et avec la droite DE parallèle à l’axe) et des propriétés de la directrice (6427, 3," DE DB) one:

y = Bl=n cos, ky?— p° + GE?, 2y sin 6 — EG.

Éliminant EG et 0 entre ces équations, il reste: 2y?— np.

Il suffit de poser p—2D, pour retrouver la condition à satisfaire.

La courbe obtenue est une chaînette ($ 216). En effet, posons REERTE. la condition réalisée devient : ny ik: C'est précisément la relation qui existe entre la normale à la chaïnette et son ordonnée. Il est, du reste, géométriquement évident que la chaïînette résout le problème, puisque le rayon de courbure de la section méridienne en B est égal et de signe contraire à BD ($ 216, %), tandis que le rayon de courbure de la section princi-

pale normale au méridien est BD.