Pinceau de normales

1°. — Considérons les normales à un élément S de la surface que, pour préciser, nous supposerons circulaire ou elliptique. Nous appellerons normale moyenne celle qui passe par le centre de lellipse. À cause de la continuité, les normales d’un pinceau sont tangentes

Fig. 299.

à chacune des nappes de la caustique (K 457) en des points voisins. Elles touchent donc toutes une petite aire découpée sur chaque nappe, aire assimilable à un fragment de plan. Chaque pinceau a donc deux aires d’amincissement qui sont les régions où les normales du pinceau touchent les deux nappes de la caustique. Le pinceau s’y aplatit alors en formant approximativement deux petits morceaux de plans.

Ces petits plans Y, et Ÿ, passent par la normale moyenne. Il est clair qu'ils font respectivement partie des sections principales P, et P, de la surface qui correspondent à cette normale, puisque les plans P; et P, sont respectivement tangents à l’une des nappes de la caustique. Les éléments Y, et *, sont done normaux l’un sur l'autre, comme les plans P, et P,.

SE ie COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES

%, — La figure 300 fera mieux comprendre de quoi il s’agit; on la comparera utilement à la figure 293 qu'elle complète. Elle montre une ligne de courbure P, et plusieurs lignes normales Pi, Le r.. A ces lignes correspondent les arêtes de rebroussement à;, à, &;, qui engendrent la nappe Y, de la caustique. A la ligne de courbure P, correspond l’arête de rebroussement à.

On voit immédiatement que la section principale P, au point O0 est tangente à la nappe X, de la caustique au point C, qui est le centre de courbure de la section principale P, au même point 0.

Si maintenant on ne considère qu’un pinceau de normales correspondant à une aire admettant O comme centre, on comprend qu'il ait une aire d’amincissement >, dans le plan P,, au voisinage du centre de courbure C, de la section principale P..

Ilaura une seconde aire d’amincissement Y, dans le plan P,, au voisinage du centre de courbure C,; de lasection principale P..

3°. — Considérons des droites quelconques, en nombre par conséquent infini, tracées sur les

Wormele moyenne aires d’amincissement et passant

Fig. 300. par le point de tangence de la

normale moyenne; ce sont ce

que les Physiciens appellent les focales. On peut dire que les normales du pinceau s'appuient toutes sur deux focales, l’une arbitrairement prise dans l’aire X,, l’autre arbitrairement prise dans l'aire X,.

Ces propositions ont une grande importance en Physique, parce que les rayons lumineux issus d’un point et ayant traversé autant de milieux isotropes qu’on veut, sont normaux à une surface qui est la surface d’onde.