Focales de Sturm
On peut présenter les mêmes propositions d’une autre manière.
1°. — Menons la normale en O à la surface (fig. 301) et les sections principales P,, P,; soient C;, C,, les centres de courbure correspondants. Les normales très voisines de O0’ et situées dans le
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COURBURES DES SURFACES 557 plan P,, vont passer en C,;; les normales très voisines de O0 et situées dans le plan P,, vont passer en C;.
Faisons tourner la section A,0B, autour d'une droite F, de son plan P,, normale à O0 et passant par C,. Le point O décrit la courbe A,0B,; la courbe A,0B, engendre un élément S de la surface ; enfin le point C, décrit un élément de la droite F, située dans P, et
normale à O0".
Faisons tourner la section A,0B, autour d'une droite F, de son
Fig. 391.
plan P,, normale à OO0'et passant par C,. Le point O décrit la courbe A,0B,; la courbe A,0B, engendre l'élément $S de la surface ; enfin le point C, décrit un élément de la droite F, située dans P, et normale à O0".
Nous venons de prouver que toutes les normales à l'élément de surface S s'appuient à la limite sur deux éléments de droite F,et F,, perpendiculaires à la normale moyenne et situées respectivement dans les sections principales P, et P,.
On les appelle focales de Sturm.
Ces focales font naturellement partie des aires d'amincissement >, et Y, définies au paragraphe précédent.
2. — L'inconvénient grave du raisonnement que nous venons de faire est d'attribuer une importance exagérée à ces focales de Sturm; 1l a conduit en Optique géométrique à une infinité d'idées fausses et de conclusions erronées.
En effet, 1l est faux de croire que les focales de Sturm sont privilégiées par rapport à la manière dont les normales du pinceau. s'appuient dessus. On s’en convainc par l'exemple des surfaces de révolution ($ 473); les normales passent rigoureusement par l'axe de révolution auxquelles cependant elles ne sont généralement pas perpen-
diculaires. La focale de Sturm qui coupe l’axe de révolution et qui est dans le plan méridien correspondant à l'élément de surface considéré, touche donc moins parfaitement les normales que l'élément de l’axe de révolution.
D'une manière générale, les normales s appuient de la même manière sur toutes les droites tracées dans les aires d'amincissement. Quand leur distance à certaines de ces droites est un infiniment petit d'ordre supérieur, les focales privilégiées ne sont pas nécessairement celles de Sturm.
Du reste, on voit immédiatement en quoi le raisonnement prête à erreur. Il suppose que les normales le long de A,OB, passent rigoureusement en C,, que les normales à A,OB, passent rigoureusement en C;. C’est vrai à la limite; mais alors le pinceau se réduit à la droite O0", et le théorème est quasiment illusoire. L'intérêt des considérations sur les pinceaux réside dans la discussion du phénomène quand le pinceau est très délié, et non pas de ce qui arrive quand les focales se réduisent rigoureusement à un point.
472. Section droite d’un pinceau; variation de forme. Coupons le pinceau par un plan perpendiculaire à la normale moyenne. | Prenons pour axe des 3 la normale moyenne, et pour axes des et des y des perpendiculaires à cette normale parallèles aux aires d’amincissement. Laimitons le pinceau par un écran fixe, disposé dans le plan æ0y, normal par conséquent à la normale moyenne et percé d’un trou circulaire de rayon p. Le pourtour de la section droite du pinceau, à une distance z du trou, est représenté par l'équation :
Ur. +
où Z, et Z, sont les z des points de tangence de la normale moyenne avec les deux nappes de la caustique.
Pour 0 on a le cercle : XL Y— 6;
pour 2—/;, on a la droite : Ne D:
pour 3—/,, on a la droite : T0 enfin on à encore un cercle C pour une valeur Z' de 3 donnée par la
1 , FT TT =T. 2 relation 7. + ne | (2) Z' est compris entre Z, et Z,. Le rayon du cercle correspondant : Lo — LL, est : D == p 57 ACTE A
La section droite du pinceau est donc toujours une ellipse qui se réduit à deux droites pour deux positions particulières du plan sécant.
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COURBURES DES SURFACES 559 La figure 302 représente les sections définies par l'équation (1). Pour la construire, prenons deux points À et B tels que : AC — CB — Traçons deux droites AD et BD passant par le point D tel que . CD —Z,; traçons deux autres droites AE et BE passant par le point E tel que CE = 2.
Pour une distance 3 quelconque, les axes de l’ellipse d'intersection sont donnés : d’une part par la distance verticale des droites AD et
To
PE Ame N
Fig. 302.
BD, de l’autre par la distance verticale des droites AE et BE. Les positions de l’ellipse évanouissante sont en D et en E.
Pour représenter les sections, on les a rabattues sur le plan du tableau par une rotation de 90° autour de verticales.
