Cas des surfaces de révolution

Nous savons (K 465) que, dans ce cas, une des nappes de la caustique se réduit à une portion de l’axe de révolution. Une des aires d'amincissement d'un pinceau de normales s'appuie nécessairement sur l’axe de révolution qui constitue l’une des focales correspondant à cette aire. Il va de soi que l’axe de révolution n’est généralement pas perpendiculaire à la normale moyenne du faisceau ($ 471).

Coupons le pinceau par un plan perpendiculaire à la normale moyenne passant par l'aire d’amincissement; comme dans le cas général, l'intersection est une droite. Elle devient rigoureusement une droite, même pour des aires S finies, si nous inchnons le plan sécant de manière qu'il passe par l’axe de révolution.

Lignes géodésiques.

| 474. Minimum de longueur des courbes joignant | deux points.

1°. — Entre deux points A et B, le plus court chemin est la ligne droite, Mais on peut imposer une condition supplémentaire, par

exemple que la courbe soit sur une surface contenant les points A et B : le plus court chemin est une certaine courbe tracée sur la surface et qu’on appelle ligne géodésique (fig. 303).

Nous poserons comme évident que si on attache en À un fil parfaitement flexible et si la surface est parfaitement polie, le fil tendu et passant par B trace sur la surface une ligne géodésique allant de À à B. Puisque le fil n’est gêné en rien, si ce n’est dans ses déplacements normaux à la surface, il obéit le mieux possible à la force qui le tend; le point d'application de cette force cède le plus possible, ce qui implique la diminution maxima de la longueur du fil comprise entre À et B.

Puisque rien ne gêne les déplacements tangentiels, le plan osculateur à la courbe se dispose partout normalement à la surface. Autrement dit, les éléments consécutifs du fil forment une suite de sections normales élémentaires.

La ligne géodésique correspond

parfois à un chemin maximum; le

Fig. 303. fil tendu est encore en équilibre, mais son équilibre est instable.

2. — De tout point À de la surface partent une infinité de géodé-

siques allant dans toutes les directions ; elles joignent le point À aux autres points de la surface.

Prenons une longueur quelconque de fil, s— AB. Attachons une des extrémités en A, tendons le fil sur la surface et considérons la courbe C tracée par l’autre extrémité : on la nomme cercle géodésique.

Les rayons AB, AD... du cercle géodésique sont constitués par les lignes géodésiques. Nous admettons qu'ils aboutissent normalement au cercle ; la propriété tient à ce que la distance de À au cercle est toujours un minimum.

3°. — Généralisons. Traçons sur la surface une courbe ABC quelconque. Par les points A,B,C,... menons des lignes géodésiques normales à ABC. Pour cela, attachons le fil en A, tendons-le sur la surface et déplaçons l’autre extrémité de manière que les angles en À deviennent droits. Nous déterminons une géodésique sur laquelle nous prenons une longueur fixe s— AA’. La courbe A'B'C'….. ainsi obtenue coupe normalement toutes les géodésiques.

475. Lignes géodésiques des surfaces de révolution. Sur la sphère, les lignes géodésiques sont des arcs de grand cercle. Par un point À quelconque, menons le diamètre D ; considé-

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rons tous les plans qui passent par ce diamètre. Ils coupent la sphère suivant des grands cercles qui constituent le faisceau des lignes géodésiques relatives au point A. Un cercle géodésique ayant A pour centre est un cercle dont le plan est normal au diamètre D. Si nous choisissons À pour pôle, c'est un parallèle.

Prenons un point À sur une surface de révolution. Parmi les lignes géodésiques relatives à ce point se trouve nécessairement le méridien correspondant.

Le parallèle n’est généralement pas une géodésique, puisque son plan osculateur n’est pas normal à la surface. Il n’est ligne géodésique que pour les points de la méridienne dont la distance à l'axe de révolution est maxima ou minima.