Lignes géodésiques des surfaces développables

1°. — Sur le plan la ligne la plus courte entre deux points est la

ligne droite. Le faisceau des lignes géodésiques issues d’un point À

est l’ensemble des droites qui passent par ce point. Les cercles géodésiques sont les cercles de centre A.

Les lignes géodésiques des surfaces développables sont évidem-

Fig. 304.

ment celles qui se transforment en droites dans le développement sur le plan. Soit A,B,C,... les points du plan ; A',B',C',... les points conjugués de la surface développable. Les lignes géodésiques relatives au point A’ sont les conjuguées du faisceau de droites passant par À dans le plan.

2%, — Les lignes géodésiques du cylindre droit à base circulaire sont des hélices, puisqu'il résulte de la définition même de l’hélice que son développement est une droite. Au faisceau de droites AB, AB,, AB... passant par un point À du plan, correspond un faisceau d'hélices passant par A’ conjugué de A sur le cylindre et faisant

Cours de Mathématiques générales. — H. BOUASSE. 36

avec les génératrices du cylindre le même angle que les droites AB, AB,,... avec les droites 6 conjuguées des génératrices sur le plan. Mais une remarque s’ impose. Soit AG, A,G,, les génératrices extrêmes du cylindre, celles qui sont confondues après enroulement. Nous pouvons considérer le cylindre comme un plan enroulé non pas seulement une fois, mais un nombre quelconque de fois, comme quand nous faisons un tube avec

du papier. Le dérou-

lement donnera donc

une série de figures

a AG, AG, ; A,G;, Fig. 305. | A,G,:;... de mêmes

dimensions. Un point B' du cylindre, pouvant être considéré comme appartenant à tous les enroulements, aura pour conjugués sur le plan une infinité de points distincts B, B;, B,,...

Réciproquement, traçons les droites AB, AB,,... Enroulons sur le cylindre. Elles donneront une série d’hélices qui sont les lignes géodésiques de A’. Par suite, entre deux points A’ et B’ du cylindre existent une infinité de chemins minimums, c’est-à-dire plus courts que les chemins voisins. Ils correspondent à une fraction : de tour, et à cette fraction augmentée ou diminuée d'un nombre quelconque de tours complets. Nous pouvons en effet décrire les hélices en sens | contraires et en obtenir une nou- | velle infinité passant par A’ et B.

Fig. 306. Elleë correspondent aux droites ABt, AB°,.. du plan.

3°. — Pour le cône circulaire, les géodésiques sont des spirales

dont il est facile de déterminer la forme. Représentons-nous le cône comme un cornet formé de plusieurs épaisseurs de papier. Son développement donnera une infinité de figures F identiques accolées, de notations (G;AG;,,. Au point B du cône correspondent donc une

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