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A ces conditions analytiques correspondent des propriétés intimes des surfaces, propriétés indépendantes des variables particulières u, v, choisies. Elles expriment en définitive ce qui est invariable, quand on déforme une surface de toutes les manières possibles sans changer la grandeur des éléments linéaires (par exemple, quand on froisse une feuille d'un papier supposé inextensible).

Nous nous contenterons d’énoncer le fameux théorème de Gauss, qui nous donnera l’occasion de définir la courbure d’une surface en un point.

1°. — Par les divers points du contour limitant une portion de surface, menons les normales à la surface. Par un point O quelconque, menons des parallèles à ces normales: elles forment un cône d'angle solide w ($S 74).

Soit S l'aire de la surface; on appelle courbure moyenne le rapport w : S. Diminuons indéfiniment l'aire S;'l’angle solide w diminue en même temps. Le rapport w:S tend vers une limite qui est par définition la courbure au point qu'occupe l'élément d’aire quand il s’annule. Nous admettrons que cette limite est la même, quelle que soit la forme de

"élément.

| 9, __ Il est aisé de trouver son exic pression. Considérons le petit rectangle 2 , à .

Fig. 907. formé par quatre lignes de courbure ;

elles sont deux à deux rectangulaires

($ 458). Les normales Île long de chacune de ces lignes peuvent être considérées comme se coupant ( 470).

Soient s, et s, les rayons de courbure principaux. On a (fig. 307) :

NP — MQ = 2000; MN = QP —2%pi; S = kate 0102+

Par le point O quelconque, menons des parallèles aux normales à la surface le long du pourtour MNPQ. Il résulte du raisonnement immédiatement précédent que l'aire découpée par le cône obtenu sur la sphère de rayon !, est : © —= had.

D'où : C=s—

bus oct ider aride. rs Oh Tin nl qui dia LS

La courbure est mesurée par l'inverse du produit des rayons de courbure principaux.

Dans le cas où l'on prend x et y comme variables indépendantes,

on a ($ 459) :

A nes (+ ET

La courbure est évidemment constante en tout point d'une sphère ; elle est nulle en tout point d’une surface développable et en tout point parabolique d’une surface quelconque.