Voici maintenant l'énoncé du théorème de Gauss

Dans la déformation d’une surface sans déchirure ni duplicature, on peut en tout point donner à l’un des rayons de courbure principaux 9, la valeur qu'on veut; l’autre prend stars une valeur tele, que le produit 0,2, reste tape

D'où résulte que deux surfaces ne sont applicables l’une sur l’autre que si le produit des rayons de courbure principaux est le même aux points correspondants des deux surfaces.

Il va de soi que, dans la déformation, les sections principales prennent en chaque point les directions qu'on veut. On peut toujours rendre en un point donné l'indicatrice de la surface semblable à une section conique donnée et placée comme on voudra, pourvu toutefois que celle-ci soit du même genre que l’indicatrice primitive. En effet, les coniques :

stp=l, +

sont semblables quand on a ($ 365) 0e 4 bb, ce qui est une première condition à satisfaire. La seconde est de laisser au produit a'b' la valeur caractéristique de la surface pour le point considéré.

4. — L'application de deux surfaces l’une sur l'autre ne peut s'effectuer généralement que par superposition des points correspondants, c'est-à-dire de ceux pour lesquels les variables u, v, ont les mêmes valeurs. Au reste, on peut donner aux surfaces une infinité de formes communes.

Parfois la superposition peut s'effectuer d’une infinité de manières : par exemple, une sphère et un plan sont respectivement applicables sur eux-mêmes d’une infinité de manières. Cela tient à ce que leur courbure est constante, 41:R? pour la sphère, nulle pour le plan.

Les surfaces de révolution sont applicables pour une infinité de positions obtenues, les unes à partir des autres, par rotation d'un angle quelconque autour de l'axe.

De même les surfaces développables, ayant une courbure partout nulle, sont applicables d'une infinité de manières sur un plan, par conséquent les unes sur les autres. Mais si l’on veut que les génératrices restent communes, la superposition exige que les arêtes de

rebroussement aient même transformée plane. C’est ce qui arrive pour deux cônes dont on fait coincider les sommets, deux cylindres dont on fait coïncider les sections droites. C'est ce qui arrive pour

les hélicoïdes développables dont les hélices arêtes de rebroussement ont même courbure ($ 415, 5°) :

< pe—r; cos*0.

| 479. Cônes sphériques.

1°. — Enlevons à une sphère un fuseau; enroulons ce qui reste autour de la ligne des pôles : nous obtenons une surface de révolution qui s'appelle un double cône sphérique. Le lecteur fera l'expé-

z E p TE D F B P ’ 0 $ LE

Fig. 308.

rience avec un ballon de caoutchouc ou de celluloïid, dont :1l supprimera, par exemple, un quadrant.

Cherchons l'équation de la nouvelle méridienne (fig. 308).

Soit R le rayon de la sphère; ses points sont déterminés par la longitude (dont nous n’aurons pas à nous occuper) et la latitude o.

En supprimant un fuseau et en enroulant ce qui reste autour de Oz, nous remplaçons un parallèle BF par un parallèle B'F' plus court dans un rapport k, le même pour tous les parallèles: les rayons des parallèles correspondants sont dans le même rapport; d'où la première relation :

BF—x—Rcoso, BF—2—#%Rcoso; dx = —kR sin o . do.

Écrivons que les arcs des méridiennes compris entre des points correspondants sont égaux :

BC pm BC Te Rdo : dz? + dx'? — R?do?;

dz = R 1 — /? sin * do, 2=R [ V1 — A sin *o do.

En définitive, les équations des méridiennes des deux courbes sont, pour la sphère :

æ—=kRcoso, 3—=R sin; pour le cône sphérique :

zx — HR coso, 2=R/| VI—/ksim?o do.

z s'exprime donc au moyen de l'intégrale elliptique de seconde espèce étudiée au K 183.

. ®, — Évaluons les longueurs BE=T, BE —T.

On a : sin g—— TT — king;

les sinus des angles que font les langentes avec l'axe de révolution, sont dans un rapport constant.

Au point D,on a sino—1; l'angle o’ au sommet D' est donc fourni par la relation simo—#.

On a : T'sno —2", Tsino—z; d'où : | EM les distances des points correspondants à l’axe de révolution, distances comptées sur la tangente, sont égales.

3°. — Calculons les rayons de courbure principaux en B. L'un d'eux est égal à B'G'. On a :

7 TT (| __VI— ksm'o PP To pr ARcoso

L'autre :, est le rayon de courbure de la méridienne; il est donc égal ($ 92) à l'arc de méridienne divisé par la différence des angles que font avec une droite invariable (0'z', par exemple) les tangentes aux extrémités de l'arc:

! do' 1 k cos o 1 l

Ado RVI—Æsin® nes FR Conformément au théorème de Gauss, la courbure en tout point du cône sphérique est la même et égale à celle de la sphère génératrice. | #4. — La longueur du cône est :

OD=R / ? VI— sine dE;

C'est l'intégrale complète de seconde espèce pour le module #.

Pour k—0, ona: OD—7+r:2, ce qui est évident a priori.

5°. — Évaluons le volume. Il a pour expression ({ 382) :

- - V=— f rkR?cos'o . ds =#= Re [ cos? o V1 — k? sin? o . do. 0 0 ;

La

Cette intégrale se ramène aisément aux intégrales de première et

de seconde espèces ($$ 183 et 184). On a : :

34 fl cos* oV1— sin? o . dp—={#f sin o cos o VŸ 1 — Æsin°?o

VI—/ksin 0°

HAL) | do ÆFsin es —(1—H#)

ce qu'on vérifiera immédiatement par différentiation. En particulier, le volume du cône sphérique entier est :