partie : ffe dy dz

Nous découpons le plan yOz en petits rectangles; nous construisons le cylindre dont les génératrices sont parallèles à Ox et qui

Fig. 311.

s'appuient sur le pourtour du rectangle. Nous découpons ainsi sur la surface deux éléments dS, et dS, qui ont l’un et l’autre le rectangle d'aire dydz pour projection sur le plan yOz. Les éléments d’intégrales sont donc le produit de dy dz par les valeurs de u qui correspondent aux deux éléments de surface (fig. 311).

Mais (c'est ici qu'un peu d'attention est nécessaire) les choses ne

se passent pas de la même manière en 1 et en 2. Supposons que u soit partout positif. En 1 le flux pénètre dans la surface, en 2 il sort de la surface. Nous devons donc écrire pour la somme des deux éléments d’intégrale : (u, — u,) dy dz.

Le raisonnement est le même si le cylindre rencontre la surface en #, en 6 points, (le nombre des points est nécessairement pair, puisque la surface est fermée) : il faut prendre positivement les valeurs de u là où la droite parallèle à Ox sort de la surface, négativement les valeurs de u là où cette droite entre dans la surface.

Mais u,—u, est la somme des variations de u pendant que la droite est dans l’espace limité par la surface. On peut donc écrire :

na et par suite : | u dy dz FE dx dy dz.

Le raisonnement appliqué aux autres parties de l'intégrale (1) permet de poser :

F "du . dw 4 (u dy dz + vdz dx + w dx dy) = [ff (on + Ge Jérdy ds

4. — Nous remplaçcons une intégrale de surface par une intégrale de volume. Nous exprimons que ce qui sort en définitive de la surface est la somme de ce qui sort en définitive de tous les éléments de volume que contient la surface, proposition évidente. |

Si nous voulons qu'il ne sorte rien de la surface quelle que soit sa forme, nous devons écrire qu'il ne sort rien d'aucun des volumes élémentaires qu’elle contient, c'est-à-dire que la quantité qui entre dans chaque élément est à chaque instant égale à la quantité qui en sort. La condition de conservation pour le flux est donc :

du Ôv Ow DER An RS —= Div (u, 0,0) =